Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.3. Moments d’une variable discrète 61
2.3 Moments d’une variable discrète
Dans toute cette section, comme précédemment, X est une variable aléatoire discrète à valeurs
dans X = (xi)i∈I et de loi (pi)i∈I.
2.3.1 Espérance
Commençons par un rappel sur les séries : on dit que la série numérique un est absolument
convergente si la série |un| est convergente. On sait que l’absolue convergence d’une série implique
sa convergence. Si la série un est convergente, mais pas absolument convergente, on dit
qu’elle est semi-convergente. C’est le cas de la série harmonique alternée (−1) n
n (dont la somme
vaut −ln2). Etant donné leurs problèmes de commutativité, on fuira comme la peste les séries
semi-convergentes.
Définition 2.4 (Espérance)
On dit que la variable X admet une espérance si la série
i∈I xipi est absolument convergente,
c’est-à-dire si :
|xi|pi < +∞.
Si tel est le cas, on appelle espérance de X et on note E[X] la quantité :
E[X] =
xiÈ(X = xi) =
xipi.
i∈I
i∈I
Cette définition semble un peu tordue : on commence par vérifier une certaine condition et, si elle
est vérifiée, on définit l’objet qui nous intéresse d’une autre façon. Nous reviendrons plus loin sur la
raison de tout ceci. Remarquons néanmoins dès à présent que si l’ensemble X des valeurs possibles
de X est fini, il n’y a rien à vérifier et l’espérance de X est toujours définie. Si X est infini mais
contenu dansÊ+ ou dansÊ− , l’absolue convergence équivaut à la convergence, donc la vérification
se fait en même temps que le calcul de l’espérance. Le cas critique est celui de X infini avec une infinité
de valeurs positives et une infinité de valeurs négatives (cf. le second contre-exemple ci-après).
Terminologie. Le terme “espérance” est historique et dû au fait que les probabilités sont nées des
jeux d’argent. On peut penser en particulier aux paris du Chevalier de Méré (cf. exercice 1.36) :
celui-ci considérait par exemple, à raison, que miser sur l’apparition d’au moins un 6 sur 4 lancers
successifs d’un dé était avantageux. Il avait donc l’espoir d’un gain positif en moyenne.
Interprétation. L’espérance de X peut être vue comme la moyenne des valeurs xi pondérées par
les probabilités pi, c’est pourquoi on dit aussi moyenne de X pour parler de son espérance (cette
moyenne pondérée correspondant bien sûr au barycentre vu dans les petites classes). En particulier,
si X prend ses valeurs entre a et b (i.e. X ⊂ [a,b]), on aura nécessairement a ≤ E[X] ≤ b.
Exemples :
1. Lancer d’un dé : votre gain moyen est
i∈I
E[X] = (−1)×È(X = −1)+1×È(X = 1) = 0.
En moyenne, vous ne perdrez ni ne gagnerez donc rien à ce jeu (rien d’étonnant).
2. Lancer de deux dés : l’espérance de la somme X des deux dés est
E[X] = 2È(X = 2)+···+12È(X = 12) = ...(petit calcul)··· = 7.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2