Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

60 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
Remarque. Si nous avions pris pour définition F(x) =È(X < x), les deux dernières propriétés
auraient été : F est continue à gauche et ∀x ∈Ê,È(X = x) = F(x + ) − F(x), où
F(x + ) = lim δ→0 + F(x+δ).
Preuve.
1. Cette première propriété découle de la monotonie deÈ. Si x ≤ x ′ , alors on a l’inclusion
d’événements :
d’où :
{X ≤ x} = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ⊆ {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x ′ } = {X ≤ x ′ },
F(x) =È(X ≤ x) ≤È(X ≤ x ′ ) = F(x ′ ).
2. Commençons par noter que, F étant croissante surÊ, elle admet des limites en −∞ et
+∞. En particulier on a limx→−∞F(x) = limn→+∞F(−n). Il suffit alors d’appliquer la
continuité monotone décroissante deÈen considérant la suite décroissante d’événements
(An)n≥0 définie par An = {X ≤ −n} :
+∞
lim F(−n) = lim =È
An =È(∅) = 0.
n→+∞ n→+∞È(An)
n=0
De même, puisque limx→+∞F(x) = limn→+∞F(n), la limite en +∞ s’obtient via la continuité
monotone croissante deÈappliquée à la suite d’ensembles Bn = {X ≤ n} :
+∞
lim F(n) = lim =È
Bn
n→+∞ n→+∞È(Bn)
n=0
=È(Ω) = 1.
3. F est continue à droite signifie que F est continue à droite en tout point. Soit donc x0 un
réel quelconque. Puisque F est croissante, elle admet une limite à droite (ainsi qu’à gauche,
d’ailleurs) en x0, que l’on note F(x + 0 ) = limn→+∞F(x0 + 1/n). Pour montrer qu’elle est
continue à droite en ce point, il suffit de montrer que limn→+∞F(x0+1/n) = F(x0). On utilise
à nouveau la continuité monotone décroissante deÈ, avec cette fois la suite décroissante
d’ensembles (Cn)n≥1 définie par Cn = {X ≤ x0 +1/n}, ce qui donne :
lim
n→+∞ F(x0
+∞
+1/n) = lim =È
n→+∞È(Cn)
n=1
Cn
=È(X ≤ x0) = F(x0).
4. On se sert à nouveau de la continuité monotone décroissante en remarquant que :
{X = x} =
+∞
n=1
{x−1/n < X ≤ x} =
Or, par définition d’une fonction de répartition, on aÈ(Dn) = F(x)−F(x−1/n), donc :
+∞
n=0
Dn.
F(x)−F(x − +∞
) = lim (F(x)−F(x−1/n)) = lim =È
Dn
n→+∞ n→+∞È(Dn)
n=1
=È(X = x).
La dernière propriété montre que les seuls endroits où F présente des sauts sont ceux où X a des
chances de tomber, la hauteur de chaque saut étant égale à la probabilité de tomber en ce point.
Ceci était clair sur nos deux exemples précédents (voir en particulier la figure 2.2).
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités