Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2.2. Fonction de répartition 59
2.2 Fonction de répartition
⎩Ê→Ê
Définition 2.3 (Fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire discrète. La fonction de répartition de X est la fonction F définie
par :
⎧
⎨
F : x ↦→ F(x) =È(X ≤ x) =
pi
(2.1)
i:xi≤x
Remarque. On trouve encore dans certains ouvrages la définition : F(x) =È(X < x). Cela ne
change pas grand-chose (cf. infra), mais l’usage tend plutôt à imposer la définition que nous venons
de donner.
Exemples :
1. Lancer d’un dé : F ne prend que 3 valeurs, à savoir 0 sur ]−∞,−1[, 1/2 sur [−1,+1[ et 1
sur [1,+∞[.
2. Lancer de deux dés : F est à nouveau une fonction en escalier (voir figure 2.2). Elle vaut 0
sur ]−∞,2[, 1/36 sur [2,3[, 3/36 sur [3,4[, ..., 35/36 sur [11,12[ et 1 sur [12,+∞[.
1
32
36
28
36
24
36
20
36
16
36
12
36
8
36
4
36
2 7 12
Figure 2.2 – Fonction de répartition pour la somme de deux dés.
Sur ces exemples, on peut déjà constater certaines propriétés communes aux deux fonctions de
répartition : monotonie, limites en ±∞, continuité à droite, présence de sauts. Le résultat suivant
assure leur généralité.
Propriétés 2.2 (Propriétés d’une fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans X = (xi)i∈I. Sa fonction de répartition F a
les propriétés suivantes :
1. F est croissante;
2. limx→−∞F(x) = 0, limx→+∞F(x) = 1;
3. F est continue à droite;
4. ∀x ∈Ê,È(X = x) = F(x)−F(x − ), où F(x − ) = lim δ→0 + F(x−δ).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2