Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

58 Chapitre 2. Variables aléatoires discrètes
1. On lance un dé équilibré : on gagne 1e si le numéro est pair, on perd 1e sinon. Ceci peut
être modélisé par l’application X : (Ω,F,È) → X = {−1,+1} avec Ω = {1,2,3,4,5,6},
F = P(Ω) etÈl’équiprobabilité sur Ω. Il est bien clair que les deux événements {X =
+1} = {2,4,6} et {X = −1} = {1,3,5} appartiennent à F, c’est-à-dire que X est bien une
variable aléatoire discrète.
2. On lance deux dés équilibrés et on s’intéresse à leur somme. Celle-ci est une variable aléatoire
discrète X à valeurs dans X = {2,...,12}, Ω = {(i,j),1 ≤ i,j ≤ 6} étant muni de la tribu
F = P(Ω) et de l’équiprobabilitéÈ.
On voit que la probabilité qui nous intéresse n’est pas tantÈsur l’espace (Ω,F) que la probabilité
de prendre chacune des valeurs xi. C’est ce qui définit la loi de la variable aléatoire X.
Définition 2.2 (Loi d’une variable aléatoire discrète)
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans X = (xi)i∈I. La loi, ou distribution, de X est
la famille des (pi)i∈I, avec :
∀i ∈ I pi =È(X = xi).
Exemples :
1. Lancer d’un dé : la loi de X est donnée par p−1 = p+1 = 1/2. On dit que X suit une loi
uniforme sur l’ensemble {−1,+1}.
2. Lancer de deux dés : la loi de X est donnée par le vecteur ligne p = [p2,...,p12] suivant :
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
p = , , , , , , , , , , .
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Cette loi est illustrée figure 2.1.
6
36
1
36
p2
p7
2 7 12
Figure 2.1 – Loi de la somme de deux dés.
Propriétés 2.1 (Propriétés de la loi d’une variable discrète)
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans X = (xi)i∈I et de loi (pi)i∈I, alors on a :
(i) ∀i ∈ I, 0 ≤ pi ≤ 1;
(ii)
i∈I pi = 1.
Nous allons maintenant nous intéresser à une fonction deÊdansÊqui permet de caractériser
aussi bien les valeurs prises par une variable aléatoire discrète que sa loi : la fonction de répartition.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités