Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

Chapitre 2
Variables aléatoires discrètes
Introduction
Lorsque le résultat d’une expérience où intervient le hasard est à valeurs dans un ensemble au plus
dénombrable, on parle de variable aléatoire discrète. Celles-ci sont complètement caractérisées
par les valeurs qu’elles peuvent prendre et les probabilités avec lesquelles elles les prennent. On
définit alors facilement diverses notions utiles en calcul des probabilités : fonction de répartition,
espérance, variance, indépendance, etc.
2.1 Loi d’une variable discrète
Dans toute la suite, (Ω,F,È) désigne un espace probabilisé. On rappelle qu’un ensemble X =
(xi)i∈I est au plus dénombrable s’il est fini ou dénombrable, c’est-à-dire si on peut énumérer tous
ses éléments sous la forme d’une séquence finie ou infinie. Dans toute la suite, X sera typiquement
un sous-ensemble fini deÆouÆtout entier. La définition qui suit peut sembler un peu abstruse,
mais donne le bon cadre pour manipuler des quantités aléatoires.
Définition 2.1 (Variable aléatoire discrète)
Soit X = (xi)i∈I un ensemble au plus dénombrable contenu dansÊ. Une application
X :
est une variable aléatoire discrète si
(Ω,F,È) → X = (xi)i∈I
ω ↦→ X(ω)
∀i ∈ I {X = xi} := X −1 ({xi}) = {ω ∈ Ω : X(ω) = xi} ∈ F.
Justifions brièvement le pourquoi de cette affaire : on aura besoin des probabilités du style
È(X = xi), ou de probabilités faisant intervenir des unions d’événements {X = xi}. Un prérequis
naturel est donc de s’assurer que ces probabilités sont bien définies, autrement dit que ces
événements sont bien dans la tribu F.
Remarque. La notion de variable aléatoire discrète est stable par toutes les opérations classiques
sur les fonctions : la combinaison linéaire, le produit, le minimum, le maximum de deux variables
aléatoires discrètes X et Y sont des variables aléatoires discrètes. Ces propriétés élémentaires étant
plus fastidieuses à démontrer que difficiles à concevoir, on n’insistera pas plus.
Exemples :