Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

2 Chapitre 1. Espaces probabilisés
Définition 1.1 (Tribu)
Soit Ω un univers et F un sous-ensemble de parties de Ω, i.e. F ⊆ P(Ω). On dit que F est une
tribu, ou une σ-algèbre, si elle vérifie les 3 conditions suivantes :
(i) Ω ∈ F ;
(ii) si A appartient à F, alors son complémentaire A (encore noté A c ) appartient aussi à F ;
(iii) si (An)n∈Æest une suite de F, alors +∞
n=0 An appartient à F.
On appelle dès lors événements les éléments de la tribu F. Rappelons que si A est un événement,
alors A = Ω \ A est l’événement contraire de A. Par ailleurs, dire que l’événement +∞
n=0An se
réalise signifie que l’un au moins des événements An se réalise :
ω ∈
+∞
n=0
An ⇔ ∃n ∈Æ:ω ∈ An.
On vérifie sans problème à partir des trois axiomes ci-dessus que toute tribu F contient l’ensemble
vide ∅, est stable par union finie, intersection finie ou dénombrable. Ainsi, on retiendra qu’une
tribu est stable par combinaisons au plus dénombrables d’opérations usuelles sur les ensembles,
bref par toutes les manipulations classiques.
Exemples. Voici trois exemples classiques de tribus :
– La tribu triviale : F = {∅,Ω}.
– La tribu engendrée par une partie A de Ω : F = {∅,A,A,Ω}.
– La tribu pleine : F = P(Ω).
En pratique, lorsque Ω est fini ou dénombrable, on considère en général la tribu pleine P(Ω).
C’est le cas par exemple si Ω = {1,2,3,4,5,6}, ensemble des résultats possibles du lancer d’un
dé, ou si Ω =Æ∗ , date d’apparition du premier Pile dans une succession de lancers d’une pièce
(lorsqu’on exclut le cas improbable où Pile n’apparaît jamais). Si Ω n’est pas dénombrable, comme
c’est le cas dans l’exemple d’une suite infinie de lancers (Ω = {0,1}Æ∗
), on ne considérera pas la
tribu F = P(Ω), mais une tribu plus petite.
1.1.2 Probabilité
Une fois fixés un univers Ω et une tribu F de Ω, on peut définir proprement ce qu’est une probabilité
sur (Ω,F). Un point de vocabulaire auparavant : on dit que deux événements A et B sont
incompatibles (ou disjoints) si A∩B = ∅, et on dit que (An)n≥0 est une suite d’événements deux
à deux incompatibles si pour tout couple d’indices distincts (i,j), on a Ai ∩Aj = ∅.
Définition 1.2 (Probabilité)
On appelle probabilité sur la tribu F de Ω toute applicationÈ:F → [0,1] telle que
(i)È(Ω) = 1;
(ii) σ-additivité : si (An)n≥0 est une suite d’événements deux à deux incompatibles de F, alors :
È +∞
n=0
An
On dit alors que (Ω,F,È) est un espace probabilisé.
=
+∞
n=0È(An).
Exemple. Reprenons l’exemple du lancer de dé. On a vu que l’univers est Ω = {1,2,3,4,5,6} et
qu’on le munit de la tribu F = P(Ω). On vérifie alors que l’applicationÈ:F → [0,1] qui à A ∈ F
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités