Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

52 Chapitre 1. Espaces probabilisés
En raisonnant de même en partant respectivement de “avantage pour le joueur” et “avantage
pour son adversaire”, on aboutit finalement au système d’équations :
lequel se résout sans difficulté :
P = 2
3
⎧
⎨
⎩
P + = 2 1
3 + 3P P = 2
3P+ + 1
3P− P− = 2
3P
2 1
+
3 3 P
+ 1
3
2 4
× P ⇒ P =
3 5 .
Remarque : il est possible d’arriver brutalement au même résultat en décomposant toutes
les possibilités de gain du jeu à partir de 40-40 :
P =È(GG∪GPGG∪PGGG∪GPGPGG∪GPPGGG∪PGGPGG∪PGPGGG∪...)
Le motif est limpide : le gain du jeu se décompose en une séquence de n couples GP ou
PG, conclu par le couple GG. Puisqu’il y a deux choix pour chaque couple, le nombre de
séquences possibles de longueur n est 2 n . Il reste à voir queÈ(PG) =È(GP) = 2/9 et
È(GG) = 4/9 pour arriver à une brave série géométrique :
P =
+∞
n=0
2 n × 4
9
n 2
=
9
4
9
+∞
n=0
n 4
=
9
4
5 .
2. La probabilité p3 d’arriver à 40-40 correspond à la probabilité de 6 échanges parmi lesquels 3
ont été remportés par le joueur, les 3 autres par son adversaire. Puisqu’il y a 6 3 combinaisons
de la sorte, on en déduit :
3 3 6 2 1
p3 = =
3 3 3
160
729 .
3. La probabilité p2 que le joueur gagne le jeu en arrivant à 40-30 et en concluant s’obtient par
le même raisonnement :
p2 = 2
3 ×
3 2 5 2 1
=
3 3 3
160
729 .
La probabilité p1 que le joueur gagne le jeu en arrivant à 40-15 et en concluant :
1 2
p1 = 2
3 ×
4
3
3
3 1
3
La probabilité p0 que le joueur gagne un jeu blanc :
p0 =
2
3
4
= 16
81 .
= 64
243 .
4. La probabilité PG que le joueur gagne le set se déduit des calculs précédents :
PG = P ×p3 +p2 +p1 +p0 = 208
≈ 0.856.
243
5. Tout ce qui précède se généralise en remplaçant 2/3 par p et 1/3 par q = 1−p :
PG = ϕ(p) = p2
1−2pq ×20p3q 3 +10p 4 q 2 +4p 4 q +p 4 = p 4
20pq3 1−2pq +10q2
+4q +1 .
Remarque : on vérifie bien que ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, ϕ(1/2) = 1/2, et de façon générale
ϕ(1−p) = 1−ϕ(p). Cette dernière propriété signifie simplement que le graphe de la fonction
ϕ admet (1/2,1/2) comme centre de symétrie (voir figure 1.11).
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités