Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

More documents

Recommendations

Info

50 Chapitre 1. Espaces probabilisés 2. La probabilité qu’il soit supérieur à 3/4 sachant qu’il est supérieur à 1/3 est égale au rapport entre la longueur du segment [3/4,1] et celle du segment [1/3,1], c’est-à-dire à 3/8. 3. On tire deux points au hasard sur le segment [0,1], indépendamment l’un de l’autre. (a) La probabilité que le plus petit des deux nombres soit supérieur à 1/3 est égale à la probabilité que les deux nombres soient supérieurs à 1/3, donc p = 2/3×2/3 = 4/9. (b) La probabilité p0 que le plus grand des deux nombres soit supérieur à 3/4, sachant que le plus petit des deux est supérieur à 1/3 s’écrit p0 = p1/p, où p1 est la probabilité que le plus petit des deux est supérieur à 1/3 et le plus grand des deux est supérieur à 3/4. p1 est donc encore la probabilité que les deux nombres soient supérieurs à 1/3 moins la probabilité qu’ils soient tous les deux entre 1/3 et 3/4 : p1 =È([1/3,1],[1/3,1]) −È([1/3,3/4],[1/3,3/4]) = 2 2 5 5 13 × − × = 3 3 12 12 48 , d’où finalement : p0 = 39 64 . Exercice 1.38 (La loi du minimum) 1. La probabilité Pk que le plus petit des numéros obtenus soit supérieur ou égal à k est la probabilité que tous les numéros obtenus soient supérieurs ou égaux à k, c’est-à-dire Pk = n−k+1 n N. 2. La probabilité pk que le plus petit des numéros obtenus soit égal à k est la probabilité que le plus petit des numéros obtenus soit supérieur ou égal à k moins la probabilité qu’il soit supérieur ou égal à (k +1), soit : n−k+1 ∀k ∈ {1,...,n} pk = Pk −Pk+1 = n N n−k − n 3. Si on ne fait pas de remise entre les N tirages, alors avec les mêmes notations que ci-dessus, on obtient tout d’abord ⎧ ⎨ ( Pk = ⎩ n−k+1 N ) ( n N) 0 si N ≤ n−k+1 si N > n−k+1 D’où l’on déduit : pk = ⎧ ⎨ ⎩ ( n−k+1 N )−( n−k N ) = (n−k N−1) ( n N) ( n si N ≤ n−k +1 N) 0 si N > n−k +1 Exercice 1.39 (Fratrie) Cet exercice peut se traiter de façon intuitive à fond de cinquième, mais puisqu’il induit parfois en erreur, allons-y piano (accentuer la première syllabe). Notons donc FG l’événement : “Le premier enfant est une fille, le second un garçon.” Vu les hypothèses, dans les deux questions, nous avons donc une partition de l’espace fondamental Ω en quatre événements équiprobables : Ω = FF ∪ FG∪GF ∪GG. 1. La probabilité cherchée s’écrit ici : p1 =È(FG∪GF|FG∪GF ∪GG) = È(FG∪GF) È(FG∪GF ∪GG) , et toutes les unions étant disjointes, il vient : p1 = È(FG) È(FG)+È(GF)+È(GG) + È(GF) È(FG)+È(GF)+È(GG) = Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités 1 4 1 4 + 1 4 + 1 4 N + 1 4 . 1 4 + 1 4 + 1 4 = 2 3 .
1.5. Corrigés 51 2. Cette fois la probabilité cherchée s’écrit : p2 =È(FF|FG∪FF) = È(FF) È(FG∪FF) = È(FF) È(FG)+È(FF) = 1 4 1 4 + 1 4 = 1 2 . Exercice 1.40 (Liouville et les probabilités) Adoptons la notation Ri (respectivement Ni) : “Au i-ème tirage, la boule obtenue est rouge (resp. noire).” En analysant les parties possibles, on voit que la probabilité que A gagne s’écrit : pa =È(R1 ∪(N1 ∩R2 ∩R3)) =È(R1)+È(N1 ∩R2 ∩R3). Le premier terme vaut clairement 2/5. Quant au second, il peut se calculer par conditionnements successifs :È(N1 ∩R2 ∩R3) =È(N1)È(R2|N1)È(R3|N1 ∩R2) = 3 2 1 1 × × = 5 4 3 10 . Finalement, pa = 1/2. Pour autant, le jeu n’est pas équitable puisqu’il y a possibilité de match nul : pn =È(N1 ∩R2 ∩N3 ∩R4) = 3 2 2 1 1 × × × = 5 4 3 2 10 . Ainsi B est désavantagé, n’ayant qu’une probabilité 2/5 de gagner la partie. Exercice 1.41 (Pierre-feuille-ciseaux) 1. Avec des notations claires, la probabilité que A batte B est : È(A ≻ B) =È(A6 ∪(A3 ∩B2)) =È(A6)+È(A3)È(B2) = 1 5 3 7 + × = 6 6 6 12 . 2. De même, la probabilité que B batte C est : È(B ≻ C) =È(B5 ∪(B2 ∩C1)) =È(B5)+È(B2)È(C1) = 3 3 1 7 + × = 6 6 6 12 . 3. Si la relation “≻” entre ces dés était transitive, on choisirait le dé A. Mais il n’en est rien, comme le montre le calcul : È(C ≻ A) =È(C4 ∩A3) = 5 5 25 1 × = > 6 6 36 2 . Ceci explique le titre de l’exercice. Mieux, on peut vérifier que si chaque joueur lance deux dés identiques et effectue la somme, alors on obtient à nouveau une relation non transitive, mais tout est inversé! A titre d’exemple, nous avons : È(CC ≻ AA) =È(C4 ∩C4 ∩A3 ∩A3) = 4 5 ≈ 0.48. 6 Exercice 1.42 (Match de tennis) 1. Partant de 40-40 (ou de l’égalité, ce qui revient au même), que peut-il se passer? Ou bien le joueur gagne l’échange, ce qui arrive avec probabilité 2/3, et la probabilité qu’il gagne ensuite le jeu est P + ; ou bien le joueur perd l’échange, ce qui arrive avec probabilité 1/3, et la probabilité qu’il gagne ensuite le jeu est P−. Pour résumer, nous avons obtenu l’équation : P = 2 3 P+ + 1 3 P− Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
Page 1:
Université Rennes 2 Licence MASS 2
Page 5 and 6: Chapitre 1 Espaces probabilisés In
Page 7 and 8: 1.1. Qu’est-ce qu’une probabili
Page 9 and 10: 1.1. Qu’est-ce qu’une probabili
Page 11 and 12: 1.2. Conditionnement 7 Exemple : On
Page 13 and 14: 1.2. Conditionnement 9 Bref il suff
Page 15 and 16: 1.3. Indépendance 11 1. On lance u
Page 17 and 18: 1.4. Exercices 13 1.4 Exercices Exe
Page 19 and 20: 1.4. Exercices 15 4. Que vaut le ca
Page 21 and 22: 1.4. Exercices 17 (b) An =]−∞,
Page 23 and 24: 1.4. Exercices 19 2. Méthode B : o
Page 25 and 26: 1.4. Exercices 21 1. Quelle est la
Page 27 and 28: 1.4. Exercices 23 Exercice 1.43 (Le
Page 29 and 30: 1.5. Corrigés 25 Exercice 1.53 (Ut
Page 31 and 32: 1.5. Corrigés 27 1.0 0.9 0.8 0.7 0
Page 33 and 34: 1.5. Corrigés 29 2. Le triangle de
Page 35 and 36: 1.5. Corrigés 31 L’hypothèse de
Page 37 and 38: 1.5. Corrigés 33 et on peut donc u
Page 39 and 40: 1.5. Corrigés 35 2. Soit A et B de
Page 41 and 42: 1.5. Corrigés 37 - Concernant la l
Page 43 and 44: 1.5. Corrigés 39 q Figure 1.9 - Un
Page 45 and 46: 1.5. Corrigés 41 et pour l’Europ
Page 47 and 48: 1.5. Corrigés 43 3. On cherche cet
Page 49 and 50: 1.5. Corrigés 45 Exercice 1.27 (La
Page 51 and 52: 1.5. Corrigés 47 Exercice 1.31 (Le
Page 53: 1.5. Corrigés 49 qui se calcule à
Page 57 and 58: 1.5. Corrigés 53 Figure 1.11 - Pro
Page 59: 1.5. Corrigés 55 3. Nous voulons c
Page 62 and 63: 58 Chapitre 2. Variables aléatoire
Page 104 and 105:
100 Chapitre 2. Variables aléatoir
Page 106 and 107:
Page 108 and 109:
Page 110 and 111:
Page 112 and 113:
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
∈Ê 146 Chapitre 3. Variables al
Page 152 and 153:
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 166 and 167:
Page 168 and 169:
Page 170 and 171:
Page 172 and 173:
Page 174 and 175:
Page 176 and 177:
Page 178 and 179:
Page 181 and 182:
Annexe A Annexes A.1 Annales Univer
Page 183 and 184:
A.1. Annales 179 Université de Ren
Page 185 and 186:
A.1. Annales 181 Université de Ren
Page 187 and 188:
A.1. Annales 183 3. Montrer que E[X
Page 189 and 190:
A.1. Annales 185 4. Par définition
Page 191 and 192:
A.1. Annales 187 4. Soit Y la varia
Page 193 and 194:
A.1. Annales 189 0.50 0.45 0.40 0.3
Page 195 and 196:
A.1. Annales 191 4. (Bonus) La prob
Page 197 and 198:
A.1. Annales 193 III. Pièces défe
Page 199 and 200:
A.1. Annales 195 Tandis que dans le
Page 201 and 202:
A.1. Annales 197 IV. Jeu d’argent
Page 203 and 204:
A.1. Annales 199 4. L’espérance
Page 205 and 206:
A.1. Annales 201 1. Dire que T est
Page 207 and 208:
A.1. Annales 203 Université Rennes
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
A.1. Annales 207 Ainsi, le taux de
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
A.1. Annales 211 4. Soit X1 et X2 d
Page 217 and 218:
A.1. Annales 213 Figure A.5 - Densi
Page 219 and 220:
A.1. Annales 215 3. Pour la varianc
Page 221 and 222:
A.1. Annales 217 à la suite de quo
Page 223:
Bibliographie [1] Nicolas Bouleau.
show all

Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?