Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

50 Chapitre 1. Espaces probabilisés
2. La probabilité qu’il soit supérieur à 3/4 sachant qu’il est supérieur à 1/3 est égale au rapport
entre la longueur du segment [3/4,1] et celle du segment [1/3,1], c’est-à-dire à 3/8.
3. On tire deux points au hasard sur le segment [0,1], indépendamment l’un de l’autre.
(a) La probabilité que le plus petit des deux nombres soit supérieur à 1/3 est égale à la
probabilité que les deux nombres soient supérieurs à 1/3, donc p = 2/3×2/3 = 4/9.
(b) La probabilité p0 que le plus grand des deux nombres soit supérieur à 3/4, sachant que
le plus petit des deux est supérieur à 1/3 s’écrit p0 = p1/p, où p1 est la probabilité que
le plus petit des deux est supérieur à 1/3 et le plus grand des deux est supérieur à 3/4.
p1 est donc encore la probabilité que les deux nombres soient supérieurs à 1/3 moins la
probabilité qu’ils soient tous les deux entre 1/3 et 3/4 :
p1 =È([1/3,1],[1/3,1]) −È([1/3,3/4],[1/3,3/4]) = 2 2 5 5 13
× − × =
3 3 12 12 48 ,
d’où finalement : p0 = 39
64 .
Exercice 1.38 (La loi du minimum)
1. La probabilité Pk que le plus petit des numéros obtenus soit supérieur ou égal à k est
la probabilité que tous les numéros obtenus soient supérieurs ou égaux à k, c’est-à-dire
Pk = n−k+1
n
N.
2. La probabilité pk que le plus petit des numéros obtenus soit égal à k est la probabilité que
le plus petit des numéros obtenus soit supérieur ou égal à k moins la probabilité qu’il soit
supérieur ou égal à (k +1), soit :
n−k+1
∀k ∈ {1,...,n} pk = Pk −Pk+1 =
n
N
n−k
−
n
3. Si on ne fait pas de remise entre les N tirages, alors avec les mêmes notations que ci-dessus,
on obtient tout d’abord
⎧
⎨ (
Pk =
⎩
n−k+1
N )
( n
N)
0
si N ≤ n−k+1
si N > n−k+1
D’où l’on déduit :
pk =
⎧
⎨
⎩
( n−k+1
N )−( n−k
N )
= (n−k
N−1)
( n
N) ( n si N ≤ n−k +1
N)
0 si N > n−k +1
Exercice 1.39 (Fratrie)
Cet exercice peut se traiter de façon intuitive à fond de cinquième, mais puisqu’il induit parfois en
erreur, allons-y piano (accentuer la première syllabe). Notons donc FG l’événement : “Le premier
enfant est une fille, le second un garçon.” Vu les hypothèses, dans les deux questions, nous avons
donc une partition de l’espace fondamental Ω en quatre événements équiprobables : Ω = FF ∪
FG∪GF ∪GG.
1. La probabilité cherchée s’écrit ici :
p1 =È(FG∪GF|FG∪GF ∪GG) = È(FG∪GF)
È(FG∪GF ∪GG) ,
et toutes les unions étant disjointes, il vient :
p1 =
È(FG)
È(FG)+È(GF)+È(GG) +
È(GF)
È(FG)+È(GF)+È(GG) =
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
1
4
1
4
+ 1
4
+ 1
4
N
+
1
4
.
1
4
+ 1
4
+ 1
4
= 2
3 .