Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 47
Exercice 1.31 (Le bandit manchot)
1. Notons p3 la probabilité de remporter le jackpot, alors :
p3 = 1 9 1 9
× × =
20 20 20 8000 .
2. Notons p2 la probabilité d’avoir 2 cloches mais pas le jackpot, alors par le même raisonnement
:
p2 = 1×9×19
+
8000
1×11×1
+
8000
19×9×1
=
8000
353
8000 .
3. Si au lieu d’une répartition 1-9-1 des cloches, il y a une répartition 3-1-3, notons p ′ 3 et p′ 2 les
nouvelles probabilités. On trouve cette fois :
p ′ 3
3 1 3 9
= × × =
20 20 20 8000 ,
et
p ′ 2 = 3×1×17
+
8000
3×19×3
+
8000
17×1×3
=
8000
273
8000 .
Ainsi la probabilité de remporter le jackpot est inchangée (en moyenne le propriétaire du
casino gagne autant de ce point de vue), mais la configuration avec seulement 2 cloches apparaît
plus souvent avec le premier système, ce qui peut encourager un client naïf à continuer
de jouer. Le propriétaire du casino optera donc plutôt pour la répartition 1-9-1 que 3-1-3.
Exercice 1.32 (Les affres des escales)
Notons tout d’abord A l’événement : “Absence de la valise à Paris”. Notons encore LA (resp. NY
et L) l’événement : “La valise est restée à Los Angeles (resp. New York et Londres.)” On cherche
doncÈ(LA|A) (resp.È(NY|A) etÈ(L|A)). Pour la probabilité que la valise soit restée à Los
Angeles, il suffit d’inverser le conditionnement :
È(LA|A) =È(A|LA)È(LA)
.
È(A)
On aÈ(A|LA) = 1,È(LA) = p et la probabilité que le bagage n’arrive pas à Paris se calcule
facilement par passage au complémentaire :È(A) = 1−È(A) = 1−(1−p) 3 . Tout ceci donne au
total :
p
È(LA|A) =
1−(1−p) 3.
On raisonne de même pour calculer la probabilité que le bagage soit resté à New York :
È(NY|A) =È(A|NY)È(NY)
,
È(A)
avec à nouveauÈ(A|NY) = 1 etÈ(A) = 1−(1−p) 3 . Il reste à voir que pour que le bagage soit
resté à New York, il a dû quitter Los Angeles, ce qui arrive avec probabilité (1−p) puis être resté
à New York, ce qui arrive avec probabilité p. AinsiÈ(NY) = p(1−p) et :
È(NY|A) = p(1−p)
1−(1−p) 3.
De la même façon, la probabilité qu’il soit resté à Londres est :
Remarquons qu’au total on a bien :
È(L|A) = p(1−p)2
1−(1−p) 3.
È(LA|A)+È(NY|A)+È(L|A) = 1.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2