Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

46 Chapitre 1. Espaces probabilisés
2. Pour trouver la limite de (pN) lorsque le nombre N d’urnes tend vers l’infini, il suffit d’appliquer
le résultat sur les sommes de Riemann :
1
N +1
On en déduit :
N
(k/N) n = N
N 1
(k/N)
N +1 N
n
k=0
k=1
lim
N→∞ pN = n+1
n+2 .
−−−−→
N→∞
1
0
x n dx = 1
n+1 .
Exercice 1.29 (Il Padrino)
1. A et B sont indépendants si et seulement siÈ(A∩B) =È(A)È(B) = 0.09. Or dans le cas
général on sait par la formule d’additivité forte que :
È(A∩B) =È(A)+È(B)−È(A∪B) = 0.1+0.9−0.91 = 0.09,
donc A et B sont bien indépendants.
2. (a) Dans le cas d’un paquet groupé, dire qu’un cadeau au moins est bien arrivé signifie que
le colis est bien arrivé, donc une probabilité p = 0.9. Dans le cas de deux paquets séparés
indépendants, on cherche la probabilité complémentaire, c’est-à-dire la probabilité
qu’aucun paquet n’arrive : 1−p ′ = 0.1 ×0.1 = 0.01, donc la probabilité qu’au moins
un des deux arrive est p ′ = 0.99.
(b) Dans le cas d’un paquet groupé, la probabilité est la même qu’en question précédente,
c’est-à-dire p = 0.9. Dans le cas de deux paquets séparés indépendants, la probabilité
est cette fois p ′′ = 0.9×0.9 = 0.81.
3. On considère trois événements (mutuellement) indépendants A, B et C tels queÈ(A) = 0.8,
È(B) = 0.5 etÈ(C) = 0.2. Pour calculerÈ(A∪B ∪C), deux solutions : ou bien on passe
par la formule d’inclusion-exclusion (Poincaré) :
È(A∪B∪C) =È(A)+È(B)+È(C)−(È(A∩B)+È(A∩C)+È(B∩C))+È(A∩B∩C)
et on utilise l’indépendance pour évaluer les probabilités des intersections. Ou bien on passe
par le complémentaire :
È(A∪B ∪C) = 1−È(A∪B ∪C) = 1−È(A∩B ∩C),
en se souvenant que l’indépendance de A, B et C équivaut à l’indépendance de leurs complémentaires,
d’où : È(A∪B ∪C) = 1−È(A)È(B)È(C),
c’est-à-dire :È(A∪B ∪C) = 1−(1−È(A))(1−È(B))(1−È(C)) = 0.92.
Exercice 1.30 (Circuit électrique)
Avec des notations évidentes, on cherche en faitÈ(A∪B ∪C), avec A, B et C indépendants. On
applique donc la méthode de l’exercice précédent :
È(A∪B ∪C) = 1−(1−È(A))(1−È(B))(1−È(C)).
Il reste à voir que par indépendance sur chaque branche on aÈ(A) =È(A1)È(A2) = 0.45,È(B) =
È(B1)È(B2)È(B3) = 0.108 etÈ(C) =È(C1) = 0.7, ce qui donne au totalÈ(A∪B ∪C) ≈ 0.85.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités