Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

Chapitre 1
Espaces probabilisés
Introduction
Dans ce premier chapitre, on commence par définir axiomatiquement la notion de probabilité sur
un ensemble cohérent d’événements (ou tribu). L’idée de probabilité conditionnelle en découle alors
très simplement. Elle est entre autres liée à la notion d’indépendance, fondamentale en probabilités
comme en statistiques.
1.1 Qu’est-ce qu’une probabilité?
Avant de définir ce qu’est une probabilité sur un ensemble d’événements, il faut commencer par
préciser les propriétés souhaitables pour cet ensemble d’événements.
1.1.1 Tribu
On s’intéresse à une expérience aléatoire dont le résultat est appelé événement élémentaire ω.
L’ensemble des résultats possibles, c’est-à-dire l’union des événements élémentaires, est noté Ω et
appelé univers ou ensemble fondamental.
Exemples :
1. Lancer d’un dé : on s’intéresse au résultat ω du lancer d’un dé à 6 faces. On a donc ω = 1
ou ω = 2, etc. L’espace fondamental est donc Ω = {1,2,3,4,5,6}. Cet univers Ω est fini.
2. Infinité de lancers d’une pièce : on lance une infinité de fois une pièce dont l’une des faces est
numérotée 0 et l’autre 1. Un événement élémentaire est donc cette fois une suite de 0 et de
1 : ω = {u1,u2,...} avec un =0 ou 1 pour tout n deÆ∗ . L’espace fondamental est cette fois
l’ensemble de toutes les suites possibles formées de 0 et de 1. Cet univers Ω est clairement
infini.
Dans la suite, on va vouloir calculer la probabilité de certaines parties de l’espace fondamental Ω.
Malheureusement, sauf lorsque Ω sera fini ou dénombrable, on ne pourra pas s’intéresser à l’ensemble
P(Ω) de toutes les parties de Ω, celui-ci étant en quelque sorte “trop gros”. On se restreindra
donc à un sous-ensemble F de P(Ω), qui constituera l’ensemble des parties dont on peut calculer la
probabilité. Afin d’obtenir un modèle aussi cohérent que possible, il importe néanmoins d’imposer
certaines conditions de stabilité à F : par union, intersection, passage au complémentaire, etc.
C’est en ce sens qu’intervient la notion de tribu.