Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 45
Exercice 1.27 (La roulette de la lose)
1. On a bien sûr p0 = 1 et p100 = 0.
2. Supposons que A commence avec ne avec 0 < n < 100 : à la première partie, ou bien il
gagne (ce qui arrive avec probabilité p) et la probabilité qu’il se ruine ensuite devient pn+1,
ou bien il perd (ce qui arrive avec probabilité (1−p)) et la probabilité qu’il se ruine ensuite
devient pn−1. La formule des probabilités totales s’écrit donc :
3. Si pour tout n ∈ {0,...,100}, on admet que :
pn = p×pn+1 +(1−p)×pn−1.
n 1−p
pn = α+β ,
p
il nous reste simplement à déterminer α et β grâce aux conditions aux bords p0 = 1 et
p100 = 0. Notons θ = 1−p
p afin d’alléger les notations. On a donc à résoudre le système
linéaire de deux équations à deux inconnues :
Ceci donne finalement :
α+β = 1
α+βθ 100 = 0 ⇐⇒
α = θ100
θ 100 −1
β = −1
θ 100 −1
∀n ∈ {0,...,100} pn = θ100 −θ n
θ 100 −1 .
4. La probabilité que A finisse ruiné en commençant avec 50e est donc p50 = θ100 −θ 50
θ 100 −1 .
5. A la roulette, la probabilité de gain à chaque partie est p = 18/37, donc θ = 19/18, et la
probabilité de finir ruiné est : p50 ≈ 94%. Il valait mieux en effet aller se promener ce jour-là...
6. Tant qu’à être prêt à perdre 50e, le mieux (ou plutôt : le moins pire) est de les miser en une
seule fois. La probabilité de finir ruiné est alors simplement p = 18/37.
Exercice 1.28 (Loi de succession de Laplace)
1. La probabilité cherchée s’écrit, en suivant l’indication de l’énoncé :
pN =È(En+1|En) =È(En+1 ∩En)
È(En)
=È(En+1)
È(En) ,
la dernière égalité venant de ce que En+1 ⊆ En. Les deux termes se traitent alors de la même
façon, en décomposant sur la partition {U0,...,UN} :
È(En) =
N
k=0È(En|Uk)È(Uk) = 1
N +1
N
k=0È(En|Uk),
1 le terme N+1 venant de l’équiprobabilité pour le choix de l’urne dans laquelle on pioche. Il
reste à voir que si on pioche dans l’urne Uk, la probabilité de tirer 1 boule rouge est k/N
donc la probabilité de tirer n boules rouges à la suite est (k/N) n . On a donc :
pN =
1 N N+1
1
N+1
k=0 (k/N)n+1
. N
k=0 (k/N)n
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2