Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

44 Chapitre 1. Espaces probabilisés
de tirer une boule blanche au second tirage est facile si on connaît la composition de l’urne
avant ce tirage, d’où l’idée naturelle de conditionner par ce qui s’est passé au premier tirage.
C’est le principe de la formule des probabilités totales :
È(B2) =È(B2|B1)È(B1)+È(B2|N1)È(N1) = 7 4 4 6 2
× + × =
13 10 13 10 5 .
2. On veut cette fois calculerÈ(B2|N1), ce qui peut se faire comme suit :
È(N1|B2) =È(B2 ∩N1)
È(B2)
=È(B2|N1)È(N1)
È(B2)
= 6
13 .
3. Généralisation : l’équation obtenue à la première question devient dans le cas général
È(B2) =
B +x B
×
B +N +x B +N +
B N
×
B +N +x B +N
= B
B +N .
Exercice 1.26 (Transmission bruitée)
1. Pour que l’événement In+1 ait lieu, de deux choses l’une : ou bien In était réalisé et le message
a été bien transmis dans le (n + 1)-ème canal, ou bien In était réalisé et le message a été
mal transmis dans le (n+1)-ème canal. C’est en fait la formule des probabilités totales qui
s’applique ici : È(In+1) =È(In+1|In)È(In)+È(In+1|In)È(In),
c’est-à-dire : È(In+1) = (1−p)È(In)+p(1−È(In)).
2. On a donc la relation de récurrence :
pn+1 = (1−p)pn +p(1−pn) = (1−2p)pn +p.
La condition initiale est p1 = 1−p, probabilité que le message n’ait pas été bruité dans le
premier canal.
3. On écrit :
vn+1 = un+1 − 1
2 = (1−2p)un +p− 1
2 ,
et en remplaçant un par vn + 1
2 , il vient vn+1 = (1 − 2p)vn, donc la suite (vn)n≥1 est
géométrique de raison (1−2p). On en déduit :
∀n ∈ {1,...,N} vn = (1−2p) n−1 v1.
4. On a la même relation pour pn que pour un = vn + 1
2 et puisque p1 = (1−p), on en déduit
que :
∀n ∈ {1,...,N} pn = 1
2 +
1
2 −p
(1−2p) n−1 .
5. Pour déterminer limN→+∞pN, on peut distinguer 3 cas :
(a) p = 0 : la transmission est fiable et on retrouve bien sûr pN = 1 pour tout N.
(b) p = 1 : chaque passage dans un canal change de façon certaine le message, donc pN
dépend de la parité du nombre de canaux : p2N = 1 et p2N+1 = 0.
(c) 0 < p < 1 : contrairement aux deux situations précédentes, on est dans le cas d’un
bruitage aléatoire. On remarque que limN→+∞(1 − 2p) N−1 = 0 et limN→+∞pN =
1
2 . Ceci signifie que dès que le nombre de canaux devient grand, on est incapable de
retrouver le message initial de façon fiable : autant tirer à pile ou face! C’est un peu le
principe du jeu connu sous le nom du “téléphone arabe”.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités