Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

42 Chapitre 1. Espaces probabilisés
Exercice 1.22 (Le problème du dépistage)
1. Si (Ω,F,È) est un espace probabilisé, (H1,...,Hn) une partition de Ω en n événements de
probabilités non nulles et A ∈ F tel queÈ(A) > 0, la formule de Bayes (dite de probabilité
des causes) dit que pout tout j entre 1 et n :
È(A|Hj)È(Hj)
È(Hj|A) = n i=1È(A|Hi)È(Hi) .
2. Si on note T l’événement : “Le test est positif”, et M l’événement : “La personne est malade”,
on cherche donc la probabilitéÈ(M|T) et la formule de Bayes donne :
È(M|T) =
È(T|M)È(M)
È(T|M)È(M)+È(T|M)È(M) .
D’après l’énoncé, on aÈ(M) = 1/1000,È(T|M) = 0.99,È(T|M) = 0.002, les autres
probabilités intervenant dans la formule de Bayes s’en déduisant facilement. Ceci donne
È(M|T) ≈ 1/3. Le test n’est donc pas si fiable que ça, puisque parmi les positifs, il y a
une majorité de faux positifs (voir figure 1.10). Il n’empêche qu’il peut être très utile, en
pratique, pour faire une première sélection avant d’effectuer un second test plus fiable (mais
plus coûteux) sur les “quelques” patients pour lesquels ce premier test est positif. Le point
crucial pour ce genre de test filtre est de ne pas manquer un patient malade, c’est-à-dire
d’éviter les faux négatifs. Cette proportionÈ(T|M) est donnée par l’énoncé et vaut 1%.
M ∩ T
M ∩ T
Figure 1.10 – Illustration du test de dépistage.
Exercice 1.23 (Composition de familles)
1. On a d’après le texte : p1 = 3p0, p2 = 4p0 et p3 = 2p0. Puisque la somme des pi fait 1, on en
déduit que :
p = [p0,p1,p2,p3] =
1 3 4 2
, , , .
10 10 10 10
2. Notons G l’événement : “Il y a au moins un garçon dans la famille.” On cherche doncÈ(G).
Nous allons utiliser la formule des probabilités totales via la partition Ω = {E0,E1,E2,E3}
suivant le nombre d’enfants par famille :
3
3
È(G) = =
i=0È(G|Ei)È(Ei)
i=0È(G|Ei)pi,
M ∩ T
M ∩ T
où il reste à voir que pour tout i on aÈ(G|Ei) = (1/2) i . Finalement on obtientÈ(G) = 3/8.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités