Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 41
et pour l’Europe :
PE = 1−(1−0.0003) 143×30 ≈ 72%
Bien entendu ces résultats n’ont pas grand sens : estimer une probabilité aussi faible que
3 × 10 −4 à partir de 4 événements survenus sur une trentaine d’années n’est pas sérieux,
d’autant que ceci suppose l’indépendance entre accidents, ce qui n’est clairement pas le cas
au Japon.
2. Lorsque p tend vers 0 et nt est fixé, on a 1−(1−p) nt ≈ ntp. Noter qu’en allant un terme
plus loin dans le développement, on obtient
1−(1−p) nt ≈ ntp− nt(nt−1)
p
2
2
L’approximation est donc acceptable si nt−1
2 p ≪ 1.
3. L’idée fabuleuse des auteurs de l’article a consisté à appliquer l’approximation lorsque celle-ci
n’est plus valable du tout. En l’occurrence, pour la France, ceci donne
ntp = 58×30×0.0003 ≈ 0.52
c’est-à-dire tout de même une erreur de 11% par rapport à PF. Mais ce n’est rien par rapport
à l’Europe :
ntp = 143×30×0.0003 ≈ 1.29
Encore bravo!
4. En écrivant une telle phrase dans un contrôle, vous auriez 0 avec probabilité 1.
Exercice 1.21 (Probabilités composées)
1. On note B1 (resp. B2, N3) l’événement : “La première (resp. la deuxième, la troisième) boule
tirée est blanche (resp. blanche, noire).” On veut donc calculerÈ(B1 ∩ B2 ∩ N3), ce pour
quoi on utilise la formule des probabilités composées :
È(B1 ∩B2 ∩N3) =È(B1)È(B2|B1)È(N3|B1 ∩B2).
On a initialement 4 boules blanches et 3 boules noires dans l’urne doncÈ(B1) = 4/7. Une
fois la boule blanche tirée, il reste 3 boules blanches et 3 boules noires doncÈ(B2|B1) =
1/2. Après ces deux premiers tirages, il reste 2 boules blanches et 3 boules noires, d’où
È(N3|B1 ∩B2) = 3/5. Au total, on obtientÈ(B1 ∩B2 ∩N3) = 6
35 .
2. Supposons qu’on nous donne les 5 cartes les unes après les autres et notons Pi l’événement :
“La i-ème carte est un Pique.” Dans ce cas, la probabilité p d’avoir une couleur à Pique s’écrit
p =È(P1 ∩···∩P5), d’où par la formule des probabilités composées :
p =È(P1)×È(P2|P1)×···×È(P5|P1 ∩···∩P4).
Il reste à voir qu’il y a au premier tirage 13 cartes de Pique sur un total de 52, au second 12
cartes de Pique sur un total de 51, etc., ce qui donne in fine
p = 13×12×11×10×9
52×51×50×49×48 ≈ 5×10−4 .
Puisqu’il y a 4 couleurs possibles, la probabilité d’avoir une couleur est alors tout simplement
4p ≈ 0.2% On retrouve le résultat de l’exercice 1.5 (Las Vegas 21).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2