Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 39
q
Figure 1.9 – Une façon de parcourir l’ensemble des couples (p,q) ∈ {(0,0)}∪Æ×Æ∗ .
3. Pour montrer queÊn’est pas dénombrable, il suffit de prouver que l’ensemble [0,1[ ne l’est
pas. Pour cela, commençons par rappeler que tout nombre réel x de l’intervalle [0,1[ s’écrit
de façon unique sous la forme :
x =
+∞
n=1
xn10 −n = x1 x2
+
10 100
xn
+···+ +...
10n avec xn ∈ {0,1,...,9} pour tout n. C’est le développement décimal de x et on écrit encore
x = 0,x1x2...xn.... On convient en général que ce développement décimal ne finit pas
par une infinité de 9, c’est-à-dire qu’on écrit x = 0.3780000 ou plus succinctement x =
0.378, plutôt que x = 0.37799999... . On raisonne alors pas l’absurde. Si on suppose [0,1[
dénombrable, il existe une suite (un)n≥1 telle que [0,1[= (un)n≥1. Chaque terme un admet
un développement décimal, que l’on convient d’écrire comme suit :
xn
un = 0,u 1 nu 2 n...u n n....
∈Æ Vient alors la ruse diabolique de Cantor, connue sous le nom de procédé diagonal : en
considérant le nombre x = 0,x1x2...xn... pour lequel :
0 si un n = 0
∀n =
1 si un n = 0
Le réel x est encore clairement dans [0,1[, or il est différent de chaque un puisque par
construction il en diffère au moins par une décimale (xn = u n n pour tout n). On a donc
une contradiction, ce qui signifie que l’hypothèse de départ était absurde : [0,1[ n’est pas
dénombrable.
Exercice 1.18 (L’oracle d’Oberhausen)
1. Que ce soit pour un match de poule ou avec élimination directe, le poulpe se pose sur l’un
des deux récipients et ne peut donc pronostiquer un match nul. Pour un match de poule,
en notant S (comme Succès), A, B et N les événements correspondant respectivement à un
pronostic correct, la victoire de l’équipe A, la victoire de l’équipe B et un match nul, alors
la formule des probabilités totales donne :
È(S) =È(S|A)È(A) +È(S|B)È(B)+È(S|N)È(N).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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