Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

38 Chapitre 1. Espaces probabilisés
Exercice 1.16 (Lemme de Borel-Cantelli)
1. On a vu dans l’exercice 1.15 que :
A =
n∈Æ
k≥n
Ak =
n∈ÆDn.
Or pour tout n ∈Æ, l’ensemble Dn =
k≥nAk appartient à F puisque la tribu F est
stable par union dénombrable. Puisqu’elle est également stable par intersection dénombrable,
A =
n∈ÆDn appartient encore à F.
2. Si on note Dn = +∞
k=nAk, on a :
Dn+1 =
+∞
k=n+1
Ak ⊂ An ∪
+∞
k=n+1
et la suite (Dn)n≥0 est bien décroissante pour l’inclusion.
Ak
=
+∞
k=n
Ak = Dn,
3. On suppose que +∞
n=0È(An) < +∞. La sous-σ-additivité permet d’écrire pour tout k ∈Æ:
+∞
+∞
È(Dn) =È
≤
k=n
Ak
k=nÈ(An),
et le terme de droite est le reste d’une série convergente, qui tend donc nécessairement vers
0, d’où a fortiori limn→+∞È(Dn) = 0.
4. La suite (Dn)n≥0 étant décroissante pour l’inclusion, on peut appliquer la continuité monotone
décroissante :
+∞
È(A) =È
Dn = lim = 0.
n→+∞È(Dn)
n=0
Ainsi, lorsque la série
n=∈ÆÈ(An) est convergente, il est improbable qu’une infinité d’événements
An se produisent simultanément.
Exercice 1.17 (Ensembles dénombrables)
Pour montrer qu’un ensemble est dénombrable, il suffit de pouvoir indiquer un procédé de numérotage
qui n’oublie aucun élément de E. C’est ce que nous allons utiliser dans la suite.
1. Pour voir queest dénombrable,
∈Æ
il suffit d’écrire :
=(0,−1,+1,−2,+2,...),
c’est-à-dire=(un)n≥0, avec :
u2n = n
∀n
u2n+1 = −(n+1)
2. Pour l’ensembleÉdes rationnels, on exhibe en figure 1.9 un moyen de parcourir l’ensemble
des couples (p,q) avec p ∈Æet q ∈Æ∗ . Puisqu’on ne suppose pas p et q premiers entre eux,
l’application (p,q) ↦→ p
n’est pas bijective, mais peu importe puisqu’elle est surjective donc
q
on n’oublie aucun rationnel positif et c’est bien là l’essentiel : dans la suite (un)n≥0 ainsi
obtenue, il suffira ensuite d’éliminer les un redondants. Appelons (vn)n≥0 cette suite épurée,
elle est donc en bijection avecÉ+ . Pour obtenirÉtout entier, on peut alors procéder comme
pour, en alternant un élément deÉ+ et son opposé dansÉ− . On obtient alors une suite
(qn)n≥0 décrivant l’ensemble des rationnels.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités