Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 37
– Concernant la limite sup, un élément ω lui appartient s’il est dans une infinité de An : soit
tous les indices n sont pairs, auquel cas ω ∈ A, soit tous les indices n sont impairs, auquel
cas ω ∈ B, soit il y en a des pairs et des impairs, auquel cas ω ∈ A ∩ B. Quoi qu’il en
soit, il est clair que si ω est dans la limite sup des An, on a nécessairement ω ∈ A∪B. La
réciproque marche aussi : si ω ∈ A∪B, le raisonnement précédent permet d’exhiber une
infinité de An auxquels ω appartient. Ainsi on a limAn = A∪B.
– Concernant la limite inf, un élément ω lui appartient s’il est dans tous les An sauf un
nombre fini. Il existe donc un indice n0 ∈Ætel que :
∀n ≥ n0 ω ∈ An.
En particulier ω ∈ An0 et ω ∈ An0+1, ainsi ω ∈ A et ω ∈ B, donc ω ∈ A ∩ B. Réciproquement,
soit ω ∈ A ∩ B, alors il est clair que ω ∈ An pour tout n ∈Æ. Ainsi on a
limAn = A∩B.
2. On peut réécrire automatiquement les définitions de limAn et limAn à l’aide des quantificateurs
logiques ∃ et ∀. Ceci donne pour la limite sup :
et pour la limite inf :
limAn = {ω ∈ Ω : ∀n ∈Æ, ∃k ≥ n, ω ∈ Ak},
limAn = {ω ∈ Ω : ∃n ∈Æ, ∀k ≥ n, ω ∈ Ak}.
On peut aussi les traduire en termes ensemblistes, en remplaçant ∃ par ∪ et ∀ par ∩. Ceci
donne pour la limite sup :
limAn =
Ak,
n∈Æ
et pour la limite inf :
3. On donne ici les résultats sans les justifier.
k≥n
limAn =
n∈Æ
(a) Si An =]−∞,n] pour tout n ≥ 0, alors limAn = limAn =Ê. Lorsque la suite (An)n≥0
est croissante pour l’inclusion, comme c’est le cas ici, on a en fait le résultat général :
k≥n
limAn = limAn =
Ak.
∞
An.
(b) Si An =]−∞,−n] pour tout n ≥ 0, alors limAn = limAn = ∅. Lorsque la suite (An)n≥0
est décroissante pour l’inclusion, comme c’est le cas ici, on a en fait le résultat général :
limAn = limAn =
n=0
∞
An.
(c) Si An =] − 1/n,1/n[ pour tout n > 0, alors on est à nouveau dans le cas d’une suite
décroissante pour l’inclusion et :
(d) Dans ce dernier cas, on a :
limAn = limAn =
n=0
∞
An = {0}.
n=0
limAn =]−∞,−1[ limAn =]−∞,1].
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2