Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

36 Chapitre 1. Espaces probabilisés
ce qui est exactement la formule de récurrence à l’ordre (n+1) :
n+1
È(A1 ∩···∩An+1) ≥
i=1È(Ai)−n.
Exercice 1.13 (Alea jacta est)
1. Pour tout i ∈ {2,...,12}, on note pi la probabilité que la somme fasse i. Si on regroupe ces
i dans le vecteur ligne p = [p2,...,p12], on obtient :
p = 1
36 [1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1].
2. On répète maintenant l’expérience précédente jusqu’à ce qu’une somme de 5 ou 7 apparaisse.
On désigne par En l’événement : “Une somme de 5 apparaît au n-ème double jet et sur les
(n−1) premiers coups ni la somme de 5 ni celle de 7 n’est apparue.”
(a) A chacun des (n − 1) premiers coups, la probabilité pour que ni une somme de 5 ni
une somme de 7 n’apparaisse est 1−(p5 +p7) = 13/18. Au n-ème coup, la probabilité
qu’une somme de 5 apparaisse est p5 = 4/36 = 1/9. On en déduit :
È(En) = (1−(p5 +p7)) n−1 p5 = 1
9 ×
n−1 13
18
(b) Pour que l’événement E (“on s’arrête sur une somme de 5”) se réalise, il faut et il suffit
que l’un des En se réalise, c’est-à-dire en termes ensemblistes : E = ∪ ∞ n=1 En. Puisque
les En sont deux à deux incompatibles, la sigma-additivité deÈdonne :
∞
È(E) = =
n=1È(En) 1
∞
n−1 13
,
9 18
n=1
où on reconnaît la somme des termes d’une suite géométrique de raison 13/18 :
È(E) = 1
9
1
1− 13
18
= 2
5 .
Ce résultat pouvait se trouver sans ces calculs : puisqu’on va nécessairement s’arrêter
sur une somme de 5 ou de 7, la probabilité que l’on s’arrête sur une somme de 5 est
tout simplementÈ(E) = p5/(p5 +p7) = 2/5, et celle qu’on s’arrête sur une somme de
7 estÈ(E) = 1−È(E) = 3/5.
Exercice 1.14 (Application de la sous-σ-additivité)
La sous-σ-additivité permet d’écrire :
n
i=1È(Ai) ≥È n
i=1
Ai
=È(Ω) = 1.
Si tous lesÈ(Ai) étaient de probabilité strictement inférieure à 1/n, ceci serait clairement impossible
puisque la somme des probabilités serait alors strictement inférieure à 1. On en déduit que
l’un au moins des événements Ai est bien de probabilité supérieure ou égale à 1
n .
Exercice 1.15 (Limites supérieures et inférieures d’ensembles)
1. Soit A et B deux parties de Ω et la suite (An) définie par A2n = A et A2n+1 = B pour tout
n ∈Æ.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités