Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 35
2. Soit A et B deux événements tels queÈ(A) = 0,9 etÈ(B) = 0,8.
(a) On utilise l’additivité forte :
È(A∩B) =È(A)+È(B)−È(A∪B) = 1,7−È(A∪B),
et puisqueÈ(A∪B) ≤ 1, on en déduit bien queÈ(A∩B) ≥ 0,7.
(b) Sur l’espace Ω = {1,...,10} muni de l’équiprobabilité, considérons A = {1,...,9},
B = {3,...,10}, ce qui donne A∩B = {3,...,9}. Dans ce cas on a bienÈ(A) = 0,9,
È(B) = 0,8 etÈ(A∩B) = 0,7.
(c) Puisque A ∩ B ⊂ A et A ∩ B ⊂ B, on aÈ(A ∩ B) ≤È(A) = 0,9 etÈ(A ∩ B) ≤
È(B) = 0,8, doncÈ(A ∩ B) vaut au maximum min(È(A),È(B)) = 0,8, avec égalité
lorsque A ∩ B = B, c’est-à-dire lorsque B est contenu dans A. Sur notre exemple, il
suffit de prendre A = {1,...,9} et B = {1,...,8}. De façon générale, on aÈ(A∩B) ≤
min(È(A),È(B)), avec égalité lorsque l’un des événements est contenu dans l’autre.
3. Généralisation : en remarquant que
et la relationÈ(A) = 1−È(A), il vient
or par sous-σ-additivité :
Au total on obtient bien :
A1 ∩···∩An = A1 ∪···∪An,
È(A1 ∩···∩An) = 1−È(A1 ∪···∪An),
n
È(A1 ∪···∪An) ≤ =
i=1È(Ai)
È(A1 ∩···∩An) ≥ 1−
n
(1−È(Ai)).
i=1
n n
(1−È(Ai)) =
i=1È(Ai)−(n−1).
i=1
Par ailleurs, le fait que chaque Ai contienne l’intersection des Ai implique que
È(A1 ∩···∩An) ≤ min
1≤i≤nÈ(Ai),
avec égalité si et seulement si l’un des Ai est contenu dans tous les autres.
Remarque : on peut aussi montrer la minoration de la probabilité d’intersection par récurrence.
– Elle est évidente pour n = 1 et vraie pour n = 2 par le raisonnement de la question
précédente.
– Supposons-la vraie à l’indice n ≥ 2 et considérons les événements A1,...,An+1. Alors par
la formule d’additivité forte et par associativité de l’intersection :
È(A1 ∩···∩An+1) =È((A1 ∩···∩An)∩An+1),
d’où l’on déduit en appliquant l’inégalité avec n = 2 :
È(A1 ∩···∩An+1) ≥È(A1 ∩···∩An)+È(An+1)−1.
Il reste à appliquer l’hypothèse de récurrence :
n
È(A1 ∩···∩An+1) ≥
i=1È(Ai)−(n−1)+È(An+1)−1,
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2