Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

34 Chapitre 1. Espaces probabilisés
A
Figure 1.8 – L’abécédaire des sous-ensembles.
Exercice 1.10 (Exemple de tribu engendrée)
1. On a S0 = {0,1,2}, S2 = {2,3,4}, S3 = {3,4,5}, S4 = {4,5,6}, etc. Par stabilité d’une
tribu par intersection, on voit donc que pour tout n ≥ 4, le singleton {n} = Sn∩Sn−1∩Sn−2
appartient à F. Pour les mêmes raisons, le singleton {2} = S0 ∩ S2 appartient à F. Enfin
{3} = S2 ∩{2}∩{4} appartient lui aussi à F.
2. Une partie deÆ∗∗ = {2,3,...} est l’union au plus dénombrable de singletons piochés parmi
les entiers supérieurs ou égaux à 2. Comme on vient de voir que chacun de ces singletons
est dans F et que F est stable par union au plus dénombrable, on en déduit que tout
sous-ensemble deÆ∗∗ est dans F. Autrement dit : P(Æ∗∗ ) ⊂ F.
3. On voit que S0 \{2} = {0,1} ∈ F, mais aucun des singletons {0} et {1} n’appartient à F,
autrement dit on ne peut pas séparer 0 et 1 dans F. De fait A ∈ F si et seulement si il existe
B ∈ P(Æ∗∗ ) tel que A = B ou A = {0,1}∪B.
Exercice 1.11 (Lancer infini d’une pièce)
1. On peut décrire les événements de la façon suivante :
– E1 = +∞
– E2 =
4
i=1 Ai
i=5 Ai : à partir du cinquième, tous les lancers donnent Pile;
∩ +∞
i=5 Ai
B
C
: les 4 premiers lancers donnent Face et tous les suivants
Pile;
– E3 = +∞
i=5 Ai : au moins l’un des lancers à partir du cinquième donne Pile.
2. L’événement E : “On obtient au moins une fois Pile après le n-ème lancer” s’écrit encore :
E = +∞
i=n+1 Ai.
3. A l’aide des Ai, on peut écrire :
(a) Bn = +∞
i=n Ai.
(b) B = +∞
n=1
+∞
i=n Ai
.
Exercice 1.12 (Inégalité de Bonferroni)
1. Soit E l’événement : “un seul des deux événements se réalise”. On peut écrire E = (A∪B)\
(A ∩ B), ce qui est souvent noté E = A∆B, différence symétrique de A et de B. Puisque
A∩B ⊂ A∪B, il est clair queÈ(E) =È(A∪B)−È(A∩B). Il reste à utiliser l’additivité
forte :È(E) = (È(A)+È(B)−È(A∩B))−È(A∩B) =È(A)+È(B)−2È(A∩B).
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
Ω