Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
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30 Chapitre 1. Espaces probabilisés 4. On a d’une part : P(X) = (1+X) n (1+X) n = (1+X) 2n = 2n k=0 donc le coefficient de Xn est 2n n . D’autre part, on peut écrire : P(X) = (1+X) n (1+X) n = n k=0 n X k k n k=0 2n X k k , n X k k . Le coefficient de Xn dans ce produit de polynômes s’obtient en faisant la somme de (n+1) coefficients : le coefficient de X0 dans le premier polynôme par le coefficient de Xn dans le second polynôme, le coefficient de X1 dans le premier polynôme par le coefficient de Xn−1 dans le second polynôme, etc. Finalement, en tenant compte du fait que n n k = n−k , on voit que ce coefficient vaut exactement la somme voulue. On en déduit que : n k=0 2 n = k 2n . n Exercice 1.7 (Formule de Poincaré) 1. On a #(A∪B) = #A+#B −#(A∩B). Application : si on appelle A l’ensemble des élèves ayant pour langues (anglais,espagnol), B l’ensemble des élèves ayant pour langues (anglais,allemand), l’effectif de la classe est donc 2. On a cette fois #(A∪B) = #A+#B −#(A∩B) = 20+15−5 = 30. #(A∪B ∪C) = #A+#B +#C −(#(A∩B)+#(A∩C)+#(B ∩C))+#(A∩B ∩C) 3. Généralisation : la formule de Poincaré s’écrit n #(A1 ∪···∪An) = (−1) k−1 ⎛ ⎝ k=1 1≤i1
1.5. Corrigés 31 L’hypothèse de récurrence à l’ordre n−1 donne pour la somme des deux premiers termes #An +#(A1 ∪···∪An−1) n−1 = #An + (−1) k−1 ⎛ ⎝ k=1 1≤i1
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1.5. Corrigés 31<br />
L’hypothèse de récurrence à l’ordre n−1 donne pour la somme des deux premiers termes<br />
#An +#(A1 ∪···∪An−1)<br />
n−1 <br />
= #An + (−1) k−1<br />
⎛<br />
⎝ <br />
k=1<br />
1≤i1
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