Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

30 Chapitre 1. Espaces probabilisés
4. On a d’une part :
P(X) = (1+X) n (1+X) n = (1+X) 2n =
2n
k=0
donc le coefficient de Xn est 2n n . D’autre part, on peut écrire :
P(X) = (1+X) n (1+X) n =
n
k=0
n
X
k
k
n
k=0
2n
X
k
k ,
n
X
k
k
.
Le coefficient de Xn dans ce produit de polynômes s’obtient en faisant la somme de (n+1)
coefficients : le coefficient de X0 dans le premier polynôme par le coefficient de Xn dans le
second polynôme, le coefficient de X1 dans le premier polynôme par le coefficient de Xn−1 dans le second polynôme, etc. Finalement, en tenant compte du fait que n n
k = n−k , on voit
que ce coefficient vaut exactement la somme voulue. On en déduit que :
n
k=0
2 n
=
k
2n
.
n
Exercice 1.7 (Formule de Poincaré)
1. On a
#(A∪B) = #A+#B −#(A∩B).
Application : si on appelle A l’ensemble des élèves ayant pour langues (anglais,espagnol), B
l’ensemble des élèves ayant pour langues (anglais,allemand), l’effectif de la classe est donc
2. On a cette fois
#(A∪B) = #A+#B −#(A∩B) = 20+15−5 = 30.
#(A∪B ∪C) = #A+#B +#C −(#(A∩B)+#(A∩C)+#(B ∩C))+#(A∩B ∩C)
3. Généralisation : la formule de Poincaré s’écrit
n
#(A1 ∪···∪An) = (−1) k−1
⎛
⎝
k=1
1≤i1