Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 29
2. Le triangle de Pascal consiste à écrire les coefficients intervenant dans la formule du binôme
pour des valeurs croissantes de la puissance n. Ainsi, sur la première ligne, puisque (x+y) 0 =
1, on écrit simplement 1. Sur la deuxième ligne, puisque (x+y) 1 = 1×x+1×y, on écrit 1
et 1. Sur la troisième ligne, puisque (x+y) 2 = 1×x 2 +2×xy +1×y 2 , on écrit 1, 2 et 1.
Et ainsi de suite, ce qui donne pour les six premières lignes :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
On peut remarquer que si l’on interprète un blanc comme un zéro, tout coefficient du triangle
s’obtient en ajoutant le coefficient au-dessus et le coefficient au-dessus à gauche. A l’intérieur
strict du triangle, ceci se traduit mathématiquement comme suit :
n n n+1
∀0 ≤ k < n + = .
k k +1 k +1
Cette formule peut se prouver en développant les expressions des deux coefficients binomiaux
du membre de gauche et en mettant au même dénominateur, ou par un simple raisonnement
combinatoire : pour choisir (k+1) objets parmi (n+1), on peut ou bien prendre le dernier,
auquel cas il reste ensuite à choisir k objets parmi n, ou bien ne pas prendre le dernier,
auquel cas il faut choisir (k +1) objets parmi n.
3. La première somme s’obtient en prenant x = y = 1 :
n
n
S1 =
k
k=0
= (1+1) n = 2 n .
La deuxième somme s’obtient en prenant x = −1 et y = 1 :
n
S2 = (−1) k
n
= (−1+1)
k
n = 0.
k=0
La troisième somme se calcule en bidouillant un peu :
n
n
n n
S3 = k = k = n
k k
k=0
k=1
n
k=1
n−1
,
k −1
et on effectue le changement d’indice j = k −1 pour obtenir S1 à peu de choses près :
n−1
n−1
S3 = n = n2
j
n−1 .
La quatrième somme s’obtient aussi en bricolant le bouzin :
n
n n
k 1 n+1
S4 = = ,
k+1 n+1 k+1
k=0
j=0
et on effectue le changement d’indice j = k +1 pour obtenir :
S4 = 1
n+1
n+1
=
n+1 j
1
⎛
n+1
⎝−1+
n+1
n+1 j
⎞
⎠ = 2n+1 −1
n+1 .
j=1
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
k=0
j=0