Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 27
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
pn
1−e −n(n−1)
730
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figure 1.7 – Probabilités pn ≈ 1−e −n(n−1)
730 que deux personnes parmi n soient nées le même jour.
En d’autres termes, la suite représentée figure 1.7 est quasiment la version discrétisée de la
fonction
[0,100] → [0,1]
f :
x ↦→ 1−e −x(x−1)
730
2. Soit n le nombre d’étudiants qu’il faudrait pour qu’avec plus d’une chance sur deux, au moins
un autre étudiant ait son anniversaire le même jour que vous. Notons A cet événement et
calculons la probabilité de A, c’est-à-dire la probabilité qu’aucun des (n−1) autres étudiants
n’ait la même date d’anniversaire que vous. Chaque autre étudiant a donc le choix entre 364
jours dans l’année, ce qui donne :
n−1 364
È(A) = 1−È(A) = 1− .
365
Nous cherchons donc n tel que cette probabilité soit supérieure à 1/2, ce qui donne :
1−
et en passant aux logarithmes :
(n−1)ln 364
365
Donc il faut au moins 254 étudiants.
n−1 364
≥
365
1
2 ⇔
n−1 364
≤
365
1
2
≤ −lln2 ⇔ n ≥ 1− ln2
ln 364
365
≈ 253.65
Exercice 1.5 (Las Vegas 21)
1. Nombre de mains possibles : N = 52 5 .
2. Soit p1 la probabilité d’avoir une quinte flush. Pour former une quinte flush, il suffit de choisir
la couleur (4 choix) et la valeur de la carte basse (10 choix), donc au total 40 possibilités,
soit p1 = 40/N ≈ 0,00154% de chances.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2