Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

Table des matières
1 Espaces probabilisés 1
1.1 Qu’est-ce qu’une probabilité? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Variables aléatoires discrètes 57
2.1 Loi d’une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Moments d’une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.3 Autres moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Corrélation et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.7 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Variables aléatoires à densité 115
3.1 Densité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3 Moments d’une variable à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4.3 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.6 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A Annexes 177
A.1 Annales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.2 Table de la loi normale X ∼ N(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
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