Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.5. Corrigés 25
Exercice 1.53 (Utilité d’un testeur)
Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de processeurs contenant 2% d’éléments défectueux.
En début de chaîne, chaque processeur est vérifié par un testeur dont la fiabilité n’est pas
parfaite, de telle sorte que la probabilité que le testeur déclare le processeur bon (resp. mauvais)
sachant que le processeur est réellement bon (resp. mauvais) vaut 0.95 (resp. 0.94).
1. Calculer la probabilité qu’un processeur soit déclaré bon.
2. Calculer la probabilité qu’un processeur déclaré bon soit réellement bon.
3. Calculer la probabilité qu’un processeur déclaré mauvais soit réellement mauvais.
4. Le testeur est-il utile?
1.5 Corrigés
Exercice 1.1 (Welcome in Rennes 2)
1. Nombre d’anagrammes du mot “laïus” : 5!=120. Nombre d’anagrammes du mot “lisier” :
6!/2!=360. Nombre d’anagrammes du mot “charivari” : 9!/(2!2!2!)=45360.
2. Nombre de permutations possibles d’un ensemble à n éléments parmi lesquels il y a r paquets
(n1,...,nr) d’éléments indistinguables entre eux :
3. Nombre de classements possibles :
n!
n1!...nr! .
10!
= 12600.
4!3!2!
Nombre de classements possibles sachant que José est le vainqueur :
9!
= 1260.
4!3!2!
4. Nombre de classements possibles : 20! ≈ 2,433·10 18 . Rappelons la formule de Stirling :
n! ∼ √
n
n 2πn .
e
Pour n = 20, elle donne 2,423·10 18 , soit une erreur relative de l’ordre de 0,4%.
5. Nombre de classements globaux : (10!) 2 ≈ 1,317·10 13 .
Exercice 1.2 (Autour des sommes géométriques)
1. Pour l’expression de la somme Sn = n j=0xj , il faut différencier deux cas :
– si x = 1, c’est une somme de 1 et elle vaut tout simplement : Sn = n+1.
– si x = 1, c’est la somme des termes d’une suite géométrique de raison x et elle vaut de
façon générale :
Sn =
premier terme écrit - premier terme non écrit
,
1-raison
ce qui donne ici : Sn = 1−xn+1
1−x .
2. Il y a 16 seizièmes, 8 huitièmes, 4 quarts, 2 demis et 1 finale, donc le nombre de matchs
nécessaires pour désigner le vainqueur est leur somme, soit 16+8+4+2+1 = 31.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2