Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.4. Exercices 23
Exercice 1.43 (Let’s make a deal)
Vous participez à un jeu où l’on vous propose trois portes au choix. L’une des portes cache une
voiture à gagner, et chacune des deux autres une chèvre. Vous choisissez une porte, mais sans
l’ouvrir! L’animateur, qui sait où est la voiture, ouvre une autre porte, derrière laquelle se trouve
une chèvre. Il vous donne maintenant le choix entre : vous en tenir à votre choix initial, ou changer
de porte. Qu’avez-vous intérêt à faire? Remarque : C’est un problème auquel étaient confrontés
les invités du jeu télévisé Let’s make a deal de Monty Hall (animateur et producteur américain).
Il a par ailleurs fait l’objet d’un débat houleux aux Etats-Unis.
Exercice 1.44 (Newton & Galilée)
1. Samuel Pepys écrivit un jour à Isaac Newton : “Qu’est-ce qui est le plus probable : au moins
un 6 lorsqu’on lance 6 fois un dé, ou au moins deux 6 lorsqu’on lance 12 fois un dé?” Calculer
les probabilités de ces deux événements.
2. À l’époque de Galilée, on croyait que lorsque 3 dés équilibrés étaient lancés et leurs résultats
ajoutés, une somme de 9 avait la même probabilité d’apparaître qu’une somme de 10,
puisqu’elles pouvaient chacune être obtenues de 6 façons :
– pour 9 : 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4, 3+3+3;
– pour 10 : 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4.
Calculer les probabilités de chacun de ces deux événements pour montrer qu’une somme de
10 est plus probable qu’une somme de 9.
Exercice 1.45 (Peer-to-Peer)
Un logiciel Peer-to-Peer utilise 4 serveurs S1,S2,S3,S4 de listes de fichiers partagés. S4 est le plus
gros des serveurs et recense 40% des données disponibles. Les données restantes sont distribuées
équitablement entre les 3 autres serveurs. Sur la masse des fichiers disponibles, un certain nombre
d’entres eux sont défectueux, soit que leur contenu n’est pas conforme à la description qui en est
donnée, soit qu’ils contiennent des virus. Les pourcentages de fichiers défectueux sont : 8% pour
S4, 6% pour S3, 2% pour S2 et 2% pour S1.
1. On télécharge un fichier. Quelle est la probabilité que ce fichier soit défectueux ?
2. Sachant que le fichier est défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne du serveur S4 ?
Exercice 1.46 (Hémophilie)
La reine porte le gène de l’hémophilie avec une probabilité de 0,5. Si elle est porteuse, chaque
prince aura une chance sur deux de souffrir de cette maladie, indépendamment l’un de l’autre. Si
elle ne l’est pas, aucun prince ne souffrira.
1. Supposons que la reine ait un seul fils. Quelle est la probabilité qu’il soit hémophile?
2. Supposons maintenant que la reine a eu un seul fils et que celui-ci n’est pas hémophile. Quelle
est la probabilité qu’elle soit porteuse du gène?
3. Toujours en supposant que la reine a eu un fils non hémophile, s’il naît un deuxième prince,
avec quelle probabilité sera-t-il hémophile?
Exercice 1.47 (Dénombrements en vrac)
1. Les initiales de Andrei Kolmogorov sont A.K. Combien y a-t-il d’initiales possibles en tout
(on exclut les prénoms et noms composés)? Combien au minimum un village doit-il avoir
d’habitants pour qu’on soit sûr que deux personnes au moins aient les mêmes initiales ?
2. Lors d’une course hippique, 12 chevaux prennent le départ. Donner le nombre de tiercés dans
l’ordre (un tiercé dans l’ordre est la donnée du premier, du deuxième et du troisième cheval
arrivés, dans cet ordre).
3. Dans un jeu de 32 cartes, on a remplacé une carte autre que la dame de cœur par une seconde
dame de cœur. Une personne tire au hasard 3 cartes simultanément. Quelle est la probabilité
qu’elle s’aperçoive de la supercherie?
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2