Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

22 Chapitre 1. Espaces probabilisés
(a) Quelle est la probabilité que le plus petit des deux nombres soit supérieur à 1/3?
(b) Quelle est la probabilité que le plus grand des deux nombres soit supérieur à 3/4, sachant
que le plus petit des deux est supérieur à 1/3?
Exercice 1.38 (La loi du minimum)
On considère une urne contenant n jetons numérotés de 1 à n. On tire successivement N fois un
jeton, avec remise entre les tirages, et on note le numéro à chaque fois. Soit k un entier naturel
fixé entre 1 et n.
1. Quelle est la probabilité Pk que le plus petit des numéros obtenus soit supérieur ou égal à
k ?
2. En déduire la probabilité pk que le plus petit des numéros obtenus soit égal à k.
3. On suppose maintenant N ≤ n. Que deviennent ces résultats si on ne fait pas de remise entre
les N tirages ?
Exercice 1.39 (Fratrie)
Dans cet exercice, on considère qu’à la naissance un enfant a autant de chances d’être une fille
qu’un garçon, et ce indépendamment de ses éventuels frères et sœurs.
1. Raoul vient d’une famille de deux enfants. Quelle est la probabilité que l’autre soit une sœur?
2. Un couple a deux enfants. Quelle est la probabilité que les deux soient des filles sachant que
l’aînée en est une?
Exercice 1.40 (Liouville et les probabilités)
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules noires. Le joueur A commence et gagne s’il tire une
boule rouge, sinon c’est à B de tirer (A n’a pas remis la boule rouge dans l’urne). B gagne s’il tire
une boule noire, sinon c’est à A de tirer, et ainsi de suite. Quelle est la probabilité que A gagne?
Ce jeu est-il équitable?
Exercice 1.41 (Pierre-feuille-ciseaux)
On considère ici trois dés à 6 faces un peu particuliers. Le dé A a pour faces (3,3,3,3,3,6), le dé
B (2,2,2,5,5,5), et le dé C (1,4,4,4,4,4).
1. Vous lancez simultanément les dés A et B. Quelle est la probabilité que A batte B ?
2. Quelle est la probabilité que B batte C ?
3. Sachant ces résultats, on vous propose de choisir entre le dé A et le dé C pour un nouveau
duel. Lequel choisiriez-vous intuitivement? Que donne le calcul des questions précédentes
dans ce cas ?
Exercice 1.42 (Match de tennis)
Dans un match donné, sur son service, un joueur a deux chances sur trois de gagner le point.
1. Calculer la probabilité qu’il a de gagner le jeu sachant qu’il est à 40-40 sur son service
(Indication : noter P cette probabilité, P + celle de gagner le jeu s’il a l’avantage, P− celle
de gagner le jeu si son adversaire a l’avantage, écrire un système de 3 équations pour les 3
inconnues P−, P, P + et résoudre ce système).
2. Quelle est la probabilité d’arriver à 40-40?
3. Quelle est la probabilité que le joueur gagne le jeu en arrivant à 40-30 et en concluant? en
arrivant à 40-15 et en concluant? en arrivant à 40-0 et en concluant?
4. Déduire des questions précédentes la probabilité que le joueur gagne le jeu?
5. Généraliser le résultat précédent en considérant qu’il a une probabilité p de gagner le point
sur son service.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités