Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.4. Exercices 19
2. Méthode B : on appelle qn la probabilité qu’il faille n essais pour ouvrir la porte. Déterminer
qn.
3. Le gardien est ivre un jour sur trois. Un jour, après avoir essayé 8 clés, le gardien n’a toujours
pas ouvert la porte. Quelle est la probabilité qu’il soit ivre?
Exercice 1.25 (Urne de Polya)
Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Une boule est tirée au hasard puis on la
replace dans l’urne ainsi que 3 autres boules de la même couleur que celle-ci (de sorte qu’il y a
alors 13 boules dans l’urne). On tire alors une nouvelle boule au hasard dans l’urne.
1. Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit blanche.
2. Etant donné que la seconde boule tirée est blanche, quelle est la probabilité que la première
soit noire?
3. Généralisation : on considère le même procédé avec initialement B boules blanches, N noires
et un ajout de x boules supplémentaires (ainsi précédemment on avait B = 4, N = 6 et
x = 3). Montrer que la probabilité que la seconde boule tirée soit blanche est B
B+N .
Exercice 1.26 (Transmission bruitée)
Un message doit être transmis d’un point à un autre à travers N canaux successifs. Ce message
peut prendre deux valeurs, 0 ou 1. Durant le passage par un canal, le message a la probabilité
p ∈]0,1[ d’être bruité, c’est-à-dire d’être transformé en son contraire, et (1 − p) d’être transmis
fidèlement. Les canaux se comportent indépendamment les uns des autres.
1. Notons In l’événement : “en sortie de n-ème canal, le message est le même que celui transmis
initialement.” ExprimerÈ(In+1) en fonction deÈ(In) et de p.
2. En notant pn =È(In), donner une relation de récurrence entre pn+1 et pn. Que vaut p1 ?
3. On considère une suite (un)n≥1 vérifiant la relation de récurrence :
un+1 = (1−2p)un +p.
Une telle suite est dite arithmético-géométrique. Vérifier que la suite (vn)n≥1, définie par
vn = un − 1
2 , est géométrique. En déduire vn en fonction de p et v1.
4. En déduire pn en fonction de p pour tout n ∈ {1,...,N}.
5. Que vaut limN→+∞pN ? Qu’est-ce que ce résultat a d’étonnant à première vue?
Exercice 1.27 (La roulette de la lose)
Deux joueurs A et B jouent une succession de parties de pile ou face. A chaque coup, A a la
probabilité p ∈]0,1[ de gagner, auquel cas B lui donne 1e, sinon le contraire. Les joueurs A et B
disposent en début de partie de 50e chacun. La partie s’arrête lorsque l’un des deux est ruiné. On
cherche la probabilité que A finisse ruiné. Pour tout n ∈ {0,...,100}, on note pn la probabilité
que A finisse ruiné s’il commence avec ne et B avec (100−n)e.
1. Que valent p0 et p100 ?
2. NotonsRn l’événement : “A finit ruiné en commençant avec ne”, c’est-à-dire quepn =È(Rn).
DécomposerÈ(Rn) en conditionnant par le résultat de la première partie, de façon à obtenir
une relation de récurrence entre pn+1, pn et pn−1.
3. On admet que la solution de cette équation est de la forme :
n 1−p
pn = α+β .
p
Déterminer α et β.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2