Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
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216 Annexe A. Annexes 2. Puisque l’exponentielle est partout positive, il en va de même pour f. Il reste à vérifier que son intégrale somme à 1, or il suffit pour cela de remarquer que f n’est rien d’autre que la dérivée de g : +∞ −∞ f(x)dx = [g(x)] +∞ −∞ = lim g(x)− lim g(x) = 1−0 = 1. x→+∞ x→−∞ L’allure de f est donnée en figure A.6 à gauche. Lorsqu’une variable X a pour densité f, on dit qu’elle suit une loi de Gumbel. Figure A.6 – Fonctions f et g, densité et fonction de répartition d’une loi de Gumbel. 3. Si X suit une loi exponentielle de paramètre 1, sa fonction de répartition F vaut 0 pour x ≤ 0 et F(x) = 1−e −x pour x ≥ 0. 4. Les variables X1 et X2 ne prenant que des valeurs postives, c’est a fortiori le cas pour la variable M, doncÈ(M ≤ x) = 0 si x ≤ 0. Pour x ≥ 0, nous avons par indépendance de X1 et X2 : È(M ≤ x) =È(max(X1,X2) ≤ x) =È({X1 ≤ x}∩{X2 ≤ x}) =È(X1 ≤ x)È(X2 ≤ x) et via la question précédente È(M ≤ x) = 1−e −x 1−e −x = 1−e −x 2 . Nous avons donc calculé la fonction de répartition F2 de la variable M. Sa dérivée f2 est la densité de M. Celle-ci vaut bien entendu 0 pour x ≤ 0, tandis que pour x ≥ 0 f2(x) = F ′ 2(x) = 2e −x 1−e −x . 5. Mutatis mutandis, les arguments précédents s’appliquent ici et aboutissent à Fn(x) =È(Mn ≤ x) = 1−e −x n {x≥0}. 6. u étant un réel fixé, il est clair que pour n suffisamment grand, nous avons |u/n| < 1, de sorte que nous pouvons sans vergogne passer à la forme exponentielle-logarithmique de la quantité en question et utiliser le développement limité ln(1−x) = −x+o(x) : 1− u n n = e nln(1−u n) n(− = e u n +o( 1 n)) = e −u+o(1) −−−−→ n→+∞ e−u Pour tout réel x, pour n suffisamment grand, nous avons x+lnn > 0 et la formule obtenue pour Fn donne donc : Fn(x+lnn) = 1−e −(x+lnn) n = 1−e −x e −lnn n = 1− e−x n n Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
A.1. Annales 217 à la suite de quoi nous pouvons appliquer le résultat précédent avec u = e −x pour obtenir lim n→+∞ Fn(x+lnn) = e −e−x = g(x). Dans le jargon, on dit que la suite de variables aléatoires (Mn−lnn)n≥0 converge en loi vers une variable aléatoire qui suit une loi de Gumbel. Dit autrement, le maximum d’un grand nombre de variables i.i.d. exponentielles tend vers l’infini à vitesse lnn, et après translation de ce maximum par −lnn, l’aléa qui reste suit en gros une loi de Gumbel. C’est pourquoi on dit que la loi de Gumbel est une des lois des extrêmes. En hydrologie, par exemple, elle peut servir à modéliser les crues d’un fleuve. Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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à la suite de quoi nous pouvons appliquer le résultat précédent avec u = e −x pour obtenir<br />
lim<br />
n→+∞ Fn(x+lnn) = e −e−x<br />
= g(x).<br />
Dans le jargon, on dit que la suite de variables aléatoires (Mn−lnn)n≥0 converge en loi vers<br />
une variable aléatoire qui suit une loi de Gumbel. Dit autrement, le maximum d’un grand<br />
nombre de variables i.i.d. exponentielles tend vers l’infini à vitesse lnn, et après translation<br />
de ce maximum par −lnn, l’aléa qui reste suit en gros une loi de Gumbel. C’est pourquoi<br />
on dit que la loi de Gumbel est une des lois des extrêmes. En hydrologie, par exemple, elle<br />
peut servir à modéliser les crues d’un fleuve.<br />
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