Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

216 Annexe A. Annexes
2. Puisque l’exponentielle est partout positive, il en va de même pour f. Il reste à vérifier que
son intégrale somme à 1, or il suffit pour cela de remarquer que f n’est rien d’autre que la
dérivée de g :
+∞
−∞
f(x)dx = [g(x)] +∞
−∞ = lim g(x)− lim g(x) = 1−0 = 1.
x→+∞ x→−∞
L’allure de f est donnée en figure A.6 à gauche. Lorsqu’une variable X a pour densité f, on
dit qu’elle suit une loi de Gumbel.
Figure A.6 – Fonctions f et g, densité et fonction de répartition d’une loi de Gumbel.
3. Si X suit une loi exponentielle de paramètre 1, sa fonction de répartition F vaut 0 pour
x ≤ 0 et F(x) = 1−e −x pour x ≥ 0.
4. Les variables X1 et X2 ne prenant que des valeurs postives, c’est a fortiori le cas pour la
variable M, doncÈ(M ≤ x) = 0 si x ≤ 0. Pour x ≥ 0, nous avons par indépendance de X1
et X2 :
È(M ≤ x) =È(max(X1,X2) ≤ x) =È({X1 ≤ x}∩{X2 ≤ x}) =È(X1 ≤ x)È(X2 ≤ x)
et via la question précédente
È(M ≤ x) = 1−e −x 1−e −x = 1−e −x 2 .
Nous avons donc calculé la fonction de répartition F2 de la variable M. Sa dérivée f2 est la
densité de M. Celle-ci vaut bien entendu 0 pour x ≤ 0, tandis que pour x ≥ 0
f2(x) = F ′ 2(x) = 2e −x 1−e −x .
5. Mutatis mutandis, les arguments précédents s’appliquent ici et aboutissent à
Fn(x) =È(Mn ≤ x) = 1−e −x n
{x≥0}.
6. u étant un réel fixé, il est clair que pour n suffisamment grand, nous avons |u/n| < 1, de
sorte que nous pouvons sans vergogne passer à la forme exponentielle-logarithmique de la
quantité en question et utiliser le développement limité ln(1−x) = −x+o(x) :
1− u
n
n
= e nln(1−u n) n(−
= e u
n
+o( 1
n)) = e −u+o(1) −−−−→
n→+∞ e−u
Pour tout réel x, pour n suffisamment grand, nous avons x+lnn > 0 et la formule obtenue
pour Fn donne donc :
Fn(x+lnn) = 1−e −(x+lnn) n
= 1−e −x e −lnn
n
= 1− e−x
n n
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités