Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

A.1. Annales 215
3. Pour la variance de X, commençons par calculer son moment d’ordre 2 :
d’où
E[X 2 ] = (−1) 2 × 1
2 +02 × 1
4 +22 × 1
6 +32 × 1 23
=
12 12 ,
Var(X) = E[X 2 ]−(E[X]) 2 = 23
12 −
1
12
2
= 275
≈ 1.91
144
275
et l’écart-type vaut : σ(X) = 144 ≈ 1.38.
4. Notons S la variable correspondant au gain du joueur sur 144 parties successives de ce jeu. Il
est clair queS = X1+···+X144, oùXi représente le gain à la partiei. Puisque les 144 variables
Xi sont indépendantes et identiquement distribuées, le Théorème Central Limite s’applique,
à savoir que S suit approximativement une loi normale N(144 × E[X],144 × Var(X)) =
N(12,275). Dès lors, une valeur approchée de la probabilité que le gain sur les 144 parties
soit positif est :
S −12
È(S > 0) =È
√ >
275 −12
√
275
−12 12
≈ 1−Φ √ = Φ √ ≈ 0.7642.
275 275
Le joueur a donc environ 76% de chances d’avoir un gain global positif sur 144 parties successives.
V. Beaujolais nouveau
Le beaujolais nouveau est arrivé.
1. Un amateur éclairé, mais excessif, se déplace de réverbère en réverbère. Quand il se lance pour
attraper le suivant, il a 80% de chances de ne pas tomber. Pour gagner le bistrot convoité, il
faut en franchir 7. On notera X le nombre de réverbères atteints sans chute.
(a) La variable aléatoire X peut prendre les valeurs {0,1,...,6,7}.
(b) La loi de X est en gros celle d’une variable géométrique commençant à 0 et “tronquée”
à droite puisque
etÈ(X = 7) = 0.8 7 .
∀k ∈ {0,1,...,6} È(X = k) = 0.2×0.8 k
2. La variable Y suivant une loi de Poisson P(4), la probabilité de faire au plus deux chutes est
tout simplement
È(Y ≤ 2) =È(Y = 0)+È(Y = 1)+È(Y = 2) = e −4
40 41 42
+ + = 13e
0! 1! 2!
−4 ≈ 0.238
3. Avant toute chose, notons qu’il est clair d’après l’énoncé que l’alarme fait partie des 8 boutons.
(a) Sur les 8 boutons, 2 conduisent à l’arrêt du “jeu” (le bon étage ou l’alarme), pour les 6
autres on rejoue. En ce sens, la variable Z suit une loi géométrique de paramètre 1/4.
(b) On en déduit que E[Z] = 4 et Var(Z) = 12.
VI. Loi de Gumbel
1. On considère la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = e−e−x. Puisque limx→−∞e−x =
+∞ etlimx→+∞e −x = 0, il s’ensuit quelimx→−∞g(x) = 0 etlimx→+∞g(x) = 1. Par ailleurs,
la fonction g est dérivable en tant que composée de fonctions dérivables et sa dérivée vaut
g ′ (x) = e−x−e−x. L’allure de g est donnée en figure A.6 à droite.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2