Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

214 Annexe A. Annexes
(c) La variable Y étant centrée en 35000, qui est le milieu du segment [25000,45000], il est
clair que p3 = p1 (au besoin, faire un dessin pour s’en convaincre). Si on aime faire des
calculs inutiles, ceci s’écrit :
p3 =È(Y ≤ 45000) =È Y −35000
5000
(d) On cherche le quantile q tel queÈ(Y ≤ q) = 0.8, or
È(Y ≤ q) = 0.8 ⇔È
X ≤
ce qui donne
q −35000
5000
≤ 45000−35000
=È(X ≤ 2) = Φ(2) ≈ 0.0228
5000
q −35000
= 0.8 ⇔ Φ
5000
≈ 0.84 ⇔ q ≈ 39200 km
q −35000
= 0.8
5000
2. La fréquence cardiaque chez un adulte en bonne santé est en moyenne de 70 pulsations par
minute, avec un écart-type de 10 pulsations. Soit X la variable aléatoire représentant la
fréquence cardiaque chez un adulte.
(a) A l’aide de l’inégalité de Tchebychev, nous obtenons
È(50 < X < 90) =È(|X −E[X]| < 20) = 1−È(|X −E[X]| > 20)
et puisque Var(X) = 100, on obtient au final :
È(50 < X < 90) ≥ 1− Var(X) 3
=
202 4
(b) Si on suppose que X suit en fait une loi normale, ce qui est tout à fait raisonnable, on
se rend compte que la probabilité est en fait bien plus grande :
X −20
È(50 < X < 90) =È
−2 < < 2 = Φ(2)−Φ(−2) = 2×Φ(2)−1 ≈ 0.9544
10
IV. Dé coloré
Un joueur dispose d’un dé équilibré à six faces avec trois faces blanches, deux vertes et une rouge.
Le joueur lance le dé et observe la couleur de la face supérieure :
– s’il observe une face rouge, il gagne 2 euros ;
– s’il observe une face verte, il perd 1 euro;
– s’il observe une face blanche, il relance le dé et : pour une face rouge, il gagne 3 euros ; pour une
face verte, il perd 1 euro; pour une face blanche, le jeu est arrêté sans gain ni perte.
Soit X la variable aléatoire égale au gain (positif ou négatif) de ce joueur.
1. Les valeurs prises par X sont {−1,0,2,3}. Avec des notations allant de soi, la loi de X est
alors donnée par :
–È(X = −1) =È(V1 ∪(B1 ∩V2)) =È(V1)+È(B1)È(V2) = 2 3 2 1
6 + 6 × 6 = 2 ;
–È(X = 0) =È(B1 ∩B2) =È(B1)È(B2) = 3
3 1
6 × 6 = 4 ;
–È(X = 2) =È(R1) = 1
6 ;
–È(X = 3) =È(B1 ∩R2) =È(B1)×È(R2) = 3 1 1
6 × 6 = 12 .
2. L’espérance de X est donc :
E[X] = −1× 1 1 1 1 1
+0× +2× +3× =
2 4 6 12 12 .
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités