Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

212 Annexe A. Annexes
Université Rennes 2
Licence MASS 2
Corrigé du Contrôle
Lundi 12 Décembre 2011
Durée : 2 heures
Calculatrice autorisée
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I. Durée de vie d’un processeur
On modélise la durée de vie d’un processeur (en années) par une loi exponentielle de paramètre
1/2.
1. Notons T la variable aléatoire modélisant cette durée de vie. Ainsi T ∼ E(1/2), d’où E[T] = 2
ans.
2. Pour tout t ≥ 0, la fonction de répartition est F(t) =È(T ≤ t) = 1−e −t/2 , d’où sa fonction
de survieÈ(T > t) = 1−F(t) = e −t/2 . Ainsi la probabilité que le processeur fonctionne plus
de six mois, i.e. une demi-année :È(T > 1/2) = e −1/4 ≈ 0.78
3. Notons G la variable correspondant à ce que rapporte un processeur. Elle prend donc 2
valeurs, 100 et 30, avec les probabilités 0.78 et 0.22, d’où en moyenne :
E[G] = 100×0.78+30×0.22 = 84.6e.
II. Densité quadratique
On considère une variable aléatoire X de densité
c x2 0 ≤ x ≤ 3
f(x) =
0 ailleurs
1. Pour que f soit une densité de probabilité, il faut qu’elle soit positive et intègre à 1 :
1 =
3
0
f(x)dx = c
3
0
x 2
x3 dx = c
3
3
0
= 9c ⇒ c = 1
9 .
La fonction f : x ↦→ x2
9 {0≤x≤3} est représentée sur la figure A.5 à gauche.
2. Puisque X ne tombe qu’entre 0 et 3, sa fonction de répartition F est nulle à gauche de 0 et
vaut 1 à droite de 3. Pour 0 ≤ x ≤ 3, il vient
F(x) =
x
0
f(u)du = 1
9
x
0
u 2 du = 1
9
La fonction F est représentée sur la figure A.5 à droite.
u 3
3
x
0
= x3
27 .
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités