Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

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208 Annexe A. Annexes –È(X = 3) =È(N3∩R2∩R1) =È(N3|R1∩R2)È(R1∩R2) =È(N3|R1R2)È(R2|R1)È(R1), c’est-à-direÈ(X = 3) = 3/4×2/5×3/6 = 3/20; –È(X = 4) = 1−(È(X = 1)+È(X = 2)+È(X = 3)) = 1/20. 2. La fonction de répartition F de la variable aléatoire X est représentée figure A.4. 3. L’espérance de X vaut : 1 1 2 3 Figure A.4 – Fonction de répartition F de la variable X. E[X] = 1× 10 6 3 1 7 +2× +3× +4× = = 1.75 20 20 20 20 4 Sa variance vaut Var(X) = E[X2 ]−(E[X]) 2 , avec : E[X 2 ] = 1 2 × 10 20 +22 × 6 20 +32 × 3 20 +42 × 1 77 = = 3.85 20 20 d’où Var(X) = 63/80 = 0.7875. 4. Puisque toutes les notes sont différentes et tous les classements équiprobables, la loi de R est la même que celle de X vue précédemment. V. Loterie Dans une loterie, un billet coûte 1 euro. Le nombre de billets émis est 90000, numérotés de 10000 à 99999, chaque billet comportant donc 5 chiffres. Un numéro gagnant est lui-même un nombre entre 10000 et 99999. Lorsque vous achetez un billet, vos gains possibles sont les suivants : votre billet correspond au numéro gagnant 10000 euros vos 4 derniers chiffres sont ceux du numéro gagnant 1000 euros vos 3 derniers chiffres sont ceux du numéro gagnant 100 euros 1. La probabilité d’avoir le numéro gagnant est égale à 1/90000. 2. Le numéro gagnant étant fixé (par exemple 23456), vous gagnez 1000 euros si vous avez l’un des numéros 13456, 33456, 43456, ..., 93456. Autrement dit, 8 possiblités qui correspondent aux 8 choix possibles pour la première décimale (ne pas oublier que 23456 ne convient pas puisque dans ce cas vous gagnez 10000 euros). Ainsi, la probabilité de gagner 1000 euros est 8/90000. 3. Même raisonnement : a priori il y a 90 choix possibles pour les deux premières décimales, mais 9 d’entre eux ne conviennent pas (gains de 1000 ou 10000 euros). Ainsi la probabilité de gagner 100 euros est 81/90000. 4. Le gain moyen par billet est donc E[G] = 10000× 1 8 81 29 +1000× +100× = = 0.29 90000 90000 90000 100 Puisqu’un billet coûte 1 euro, votre bénéfice moyen est de −0.71 euro par billet. En d’autres termes, si vous jouez 100 fois de suite à ce jeu, vous perdrez en moyenne 71 euros. Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités 4
A.1. Annales 209 Université Rennes 2 Licence MASS 2 Contrôle de Probabilités Lundi 12 Décembre 2011 Durée : 2 heures Calculatrice autorisée Aucun document I. Durée de vie d’un processeur On modélise la durée de vie d’un processeur (en années) par une loi exponentielle de paramètre 1/2. 1. Que vaut la durée de vie moyenne d’un tel processeur? 2. Avec quelle probabilité le processeur fonctionne-t-il plus de six mois ? 3. Chaque vente de processeur rapporte 100 euros à son fabriquant, sauf s’il doit être échangé pendant les six mois de garantie, auquel cas il ne rapporte plus que 30 euros. Combien rapporte en moyenne un processeur? II. Densité quadratique On considère une variable aléatoire X de densité c x2 0 ≤ x ≤ 3 f(x) = 0 ailleurs 1. Evaluer la constante c pour que f soit une densité de probabilité. Donner l’allure de f. 2. Déterminer la fonction de répartition F de X. Donner son allure. 3. CalculerÈ(1 < X < 2). 4. Déterminer espérance et variance de X. 5. Pour tout n ∈Æ∗ , déterminer le moment d’ordre n de X. III. Accidents et fréquence cardiaque 1. On considère que, pour un conducteur, le nombre de kilomètres avant le premier accident suit une loi normale d’espérance 35000 km avec un écart-type de 5000 km. Pour un conducteur choisi au hasard, déterminer la probabilité : (a) qu’il ait eu son premier accident avant d’avoir parcouru 25000 km. (b) qu’il ait eu son premier accident après avoir parcouru 25000 km et avant 40000 km. (c) qu’il n’ait pas eu d’accident avant d’avoir parcouru 45000 km. (d) Au bout de combien de kilomètres peut-on dire que 80% des conducteurs ont eu leur premier accident? Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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Chapitre 1 Espaces probabilisés In
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