Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

208 Annexe A. Annexes
–È(X = 3) =È(N3∩R2∩R1) =È(N3|R1∩R2)È(R1∩R2) =È(N3|R1R2)È(R2|R1)È(R1),
c’est-à-direÈ(X = 3) = 3/4×2/5×3/6 = 3/20;
–È(X = 4) = 1−(È(X = 1)+È(X = 2)+È(X = 3)) = 1/20.
2. La fonction de répartition F de la variable aléatoire X est représentée figure A.4.
3. L’espérance de X vaut :
1
1 2 3
Figure A.4 – Fonction de répartition F de la variable X.
E[X] = 1× 10 6 3 1 7
+2× +3× +4× = = 1.75
20 20 20 20 4
Sa variance vaut Var(X) = E[X2 ]−(E[X]) 2 , avec :
E[X 2 ] = 1 2 × 10
20 +22 × 6
20 +32 × 3
20 +42 × 1 77
= = 3.85
20 20
d’où Var(X) = 63/80 = 0.7875.
4. Puisque toutes les notes sont différentes et tous les classements équiprobables, la loi de R est
la même que celle de X vue précédemment.
V. Loterie
Dans une loterie, un billet coûte 1 euro. Le nombre de billets émis est 90000, numérotés de 10000
à 99999, chaque billet comportant donc 5 chiffres. Un numéro gagnant est lui-même un nombre
entre 10000 et 99999. Lorsque vous achetez un billet, vos gains possibles sont les suivants :
votre billet correspond au numéro gagnant 10000 euros
vos 4 derniers chiffres sont ceux du numéro gagnant 1000 euros
vos 3 derniers chiffres sont ceux du numéro gagnant 100 euros
1. La probabilité d’avoir le numéro gagnant est égale à 1/90000.
2. Le numéro gagnant étant fixé (par exemple 23456), vous gagnez 1000 euros si vous avez l’un
des numéros 13456, 33456, 43456, ..., 93456. Autrement dit, 8 possiblités qui correspondent
aux 8 choix possibles pour la première décimale (ne pas oublier que 23456 ne convient pas
puisque dans ce cas vous gagnez 10000 euros). Ainsi, la probabilité de gagner 1000 euros est
8/90000.
3. Même raisonnement : a priori il y a 90 choix possibles pour les deux premières décimales,
mais 9 d’entre eux ne conviennent pas (gains de 1000 ou 10000 euros). Ainsi la probabilité
de gagner 100 euros est 81/90000.
4. Le gain moyen par billet est donc
E[G] = 10000× 1 8 81 29
+1000× +100× = = 0.29
90000 90000 90000 100
Puisqu’un billet coûte 1 euro, votre bénéfice moyen est de −0.71 euro par billet. En d’autres
termes, si vous jouez 100 fois de suite à ce jeu, vous perdrez en moyenne 71 euros.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
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