Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

A.1. Annales 207
Ainsi, le taux de processeurs défectueux effectivement utilisés pour le montage d’ordinateurs
a été divisé par 20, ce qui peut sembler tout à fait satisfaisant. Néanmoins, cette réponse
n’est pas complètement convaincante car elle ne tient pas compte du fait que ceci s’est fait
au détriment de processeurs bons qui ont été déclarés mauvais (faux positifs). Une façon de
préciser ce point est la suivante : d’un point de vue purement comptable, le testeur est utile
s’il fait gagner de l’argent à l’entreprise. Grosso modo, la réponse dépend donc de ce qui
coûte le plus entre :
– vendre un ordinateur défectueux et devoir le changer ensuite,
– ne pas vendre un ordinateur qui fonctionnerait.
Supposons que le bénéfice retiré de la vente d’un ordinateur opérationnel est b euros et que le
déficit engendré par la vente d’un ordinateur défectueux est d euros. Dans le premier modèle,
sans testeur, le bénéfice moyen par ordinateur est donc :
B1 =È(B)×b−È(M)×d = 0.98b−0.02d
En effet, en moyenne sur 1000 processeurs, 980 ont rapporté b euros et 20 ont fait perdre d
euros.
Dans le second modèle, le bénéfice moyen par ordinateur est par contre :
B2 =È(DB ∩B)×b−È(DB ∩M)×d−È(DM ∩B)×b+È(DM ∩M)×0,
avec :
–È(DB ∩B) =È(DB|B)È(B) = 0.95×0.98 = 0.931;
–È(DB ∩M) =È(DB|M)È(M) = 0.06×0.02 ≈ 0.001;
–È(DM ∩B) =È(DM|B)È(B) = 0.05×0.98 ≈ 0.049;
–È(DM ∩M) =È(DM|M)È(M) = 0.94×0.02 ≈ 0.019
En effet, en moyenne sur 1000 processeurs, 931 sont déclarés bons et le sont, donc rapportent
chacun b euros, 1 est déclaré bon mais est mauvais donc fait perdre d euros, et 49 ont été
déclarés mauvais alors qu’ils étaient bons, donc il n’ont pas été vendus alors qu’ils auraient
dû rapporter chacun b euros. Les 19 processeurs restants étant mauvais et déclarés comme
tels, ils n’ont engendré ni perte ni profit. Bref, le bénéfice moyen par ordinateur est cette
fois :
B2 = 0.882b −0.001d.
Avec ce point de vue, le testeur est utile si B2 > B1, c’est-à-dire si :
0.882b−0.001d > 0.98b−0.02d ⇔ d > 0.098
×b ≈ 5.2×b
0.019
Ainsi, si le déficit engendré par la vente d’un ordinateur défectueux est environ 5 fois plus
élevé que le bénéfice engendré par la vente d’un ordinateur qui marche, alors le testeur est
utile. Sinon on peut s’en passer.
IV. Kramer contre Kramer
On effectue des tirages sans remise dans une urne contenant initialement 3 boules rouges et 3
boules noires jusqu’à obtenir une boule noire. On appelle X le numéro du tirage de cette boule
noire.
1. La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 1,2,3,4. En notant Ni (respectivement Ri)
l’événement : “Le tirage i est une boule noire (resp. rouge)”, on obtient pour la loi de X les
probabilités suivantes :
–È(X = 1) =È(N1) = 3/6 = 10/20;
–È(X = 2) =È(N2 ∩R1) =È(N2|R1)È(R1) = 3/5×3/6 = 3/10 = 6/20;
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2