Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

206 Annexe A. Annexes
(c) A nouveau par indépendance des deux systèmes, la probabilité P ′′ que le système 1 ait
le même nombre de pannes que le système 2 vaut :
P ′′ = p0q0 +p1q1 +p2q2 +p3q3 +p4q4 ≈ 0.28
2. Soit X1 la variable aléatoire correspondant au nombre de pannes du système 1 en une journée.
Le nombre moyen de pannes par jour du système 1 est donc :
E[X1] = 0×p0 +1×p1 +2×p2 +3×p3 +4×p4 = 1.81
De même, le nombre moyen de pannes par jour du système 2 est égale à :
E[X2] = 0×q0 +1×q1 +2×q2 +3×q3 +4×q4 = 1.83
En moyenne, le système 2 a donc un peu plus de pannes par jour.
3. La proportion du temps Q durant laquelle l’équipe de réparation ne pourra pas suffire à
la tâche correspond à la probabilité qu’il y ait plus de 6 pannes dans la même journée,
c’est-à-dire à la probabilité qu’il y en ait 7 ou 8, soit :
Q = p4q3 +p3q4 +p4q4 = 0.0174 ≈ 0.017
III. Utilité d’un testeur
Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de processeurs contenant 2% d’éléments défectueux.
En début de chaîne, chaque processeur est vérifié par un testeur dont la fiabilité n’est pas
parfaite, de telle sorte que la probabilité que le testeur déclare le processeur bon (resp. mauvais)
sachant que le processeur est réellement bon (resp. mauvais) vaut 0.95 (resp. 0.94).
1. Par la formule des probabilités totales, la probabilité qu’un processeur soit déclaré bon est :
È(DB) =È(DB|B)È(B)+È(DB|M)È(M)
OrÈ(DB|M) = 1−È(DM|M) = 1−0.94 = 0.06, d’où :
È(DB) = 0.95×0.98+0.06×0.02 = 0.9322 ≈ 0.932
2. La probabilité qu’un processeur déclaré bon soit réellement bon s’en déduit :
È(B|DB) =È(DB|B)È(B)
È(DB)
≈ 0.999
3. Par le même raisonnement, la probabilité qu’un processeur déclaré mauvais soit réellement
mauvais est :
È(M|DM) =È(DM|M)È(M)
,
È(DM)
avecÈ(DM) = 1−È(DB) ≈ 0.068, donc :
È(M|DM) = 0.94×0.02
0.068
≈ 0.28
4. Il y a plusieurs réponses possibles à cette question. La première revient à comparer le pourcentage
d’ordinateurs défectueux sans et avec testeur. De ce point de vue la réponse est
claire : sans testeur, il y en avait 2%; avec testeur, il n’y en a plus qu’environ 0,1% puisque
les mauvais processeurs déclarés bons (faux négatifs) sont en proportion
È(DB ∩M) =È(DB|M)È(M) = 0.06×0.02 ≈ 0.001
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités