Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.4. Exercices 17
(b) An =]−∞,−n] avec n ≥ 0;
(c) An =]−1/n,1/n[ avec n > 0;
(d) An =]−∞,an], pour n ≥ 1, avec :
a2p+1 = −1−1/(2p+1) ∀p ≥ 0
a2p = 1+1/(2p) ∀p > 0
Exercice 1.16 (Lemme de Borel-Cantelli)
Soit (Ω,F,È) un espace probabilisé. Soit (An)n≥0 une suite d’éléments de F et A = limAn.
1. Par la caractérisation ensembliste de la limite sup, dire pourquoi A appartient à F.
2. Considérons la suite d’ensembles Dn = +∞
k=nAk. Montrer qu’elle est décroissante.
3. On suppose que +∞
n=0È(An) < +∞. Via la sous-σ-additivité, montrer quelimn→+∞È(Dn) =
0.
4. Grâce à la continuité monotone décroissante, en déduire queÈ(A) = 0. Traduire ce résultat
concrètement.
Remarque : Réciproquement, on montre que si les An sont des événements deux à deux
indépendants et si +∞
n=0È(An) = +∞, alorsÈ(limAn) = 1.
Exercice 1.17 (Ensembles dénombrables)
On dit que E est dénombrable s’il est en bijection avecÆ. Concrètement, E est dénombrable
si on peut numéroter tous ses éléments, i.e. écrire E = (u0,u1,...,un,...). Pour montrer qu’un
ensemble est dénombrable, il suffit de pouvoir indiquer un procédé de numérotage qui n’oublie
aucun élément de E. On parle de “au plus dénombrable” pour dire “fini ou dénombrable”.
1. Montrer que l’ensembledes entiers relatifs est dénombrable.
2. Montrer que l’ensembleÉdes nombres rationnels est dénombrable.
3. Montrer queÊn’est pas dénombrable (procédé diagonal de Cantor).
Exercice 1.18 (L’oracle d’Oberhausen)
Lors de la Coupe du Monde de football 2010, avant chacune des 7 rencontres de l’équipe allemande
(3 matchs de poule, huitième, quart, demi et “petite finale”) ainsi qu’avant la finale (Espagne contre
Pays-Bas), Paul le Poulpe avait le choix entre 2 récipients contenant sa nourriture préférée, chacun
à l’effigie de l’un des deux adversaires. Le pronostic correspondait au choix du récipient où l’animal
allait se nourrir. Il se trouve que les 8 pronostics se sont avérés exacts.
1. Quelle est la probabilité d’un pronostic correct pour un match de poule? Et pour un match
avec élimination directe?
2. En déduire la probabilité qu’avait Paul le Poulpe de “tomber juste” sur l’ensemble des rencontres
?
Exercice 1.19 (Le poulpe démasqué)
La probabilité de gagner le gros lot au Loto est notée p (environ une chance sur 19 millions).
1. Quelle est la probabilité qu’aucune des N personnes jouant au Loto pour un tirage donné ne
remporte le gros lot?
2. En déduire le nombre de joueurs nécessaires pour qu’il y ait au moins une chance sur deux
que le gros lot soit remporté.
3. Combien de “poulpes” (ou autres pronostiqueurs farfelus) étaient nécessaires pour qu’avec
une probabilité supérieure à 90%, l’un au moins pronostique les 8 bons résultats ?
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2