Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

A.1. Annales 205
Université Rennes 2
Licence MASS 2
Corrigé du Contrôle
Lundi 7 Novembre 2011
Durée : 1h30
Calculatrice autorisée
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I. Circuit intégré
Un atelier reçoit 5000 circuits intégrés : 1000 en provenance de l’usine A et 4000 en provenance
de l’usine B. 10% des circuits fabriqués par l’usine A et 5% de ceux fabriqués par l’usine B sont
défectueux.
1. Par la formule des probabilités totales, la probabilité qu’un circuit pris au hasard soit défectueux
est (avec des notations évidentes) :
È(D) =È(D|A)È(A) +È(D|B)È(B) = 10 1000 5 4000
× + × = 0.06
100 5000 100 5000
2. Sachant qu’un circuit choisi est défectueux, la probabilité qu’il vienne de l’usine A se déduit
alors de la formule de Bayes :
È(A|D) =È(D|A)È(A)
È(D)
=
10 1000
100 × 5000
0.06
= 1
3 .
II. Systèmes de contrôle
Deux systèmes de contrôle électrique opèrent indépendamment et sont sujets à un certain nombre
de pannes par jour. Les probabilités pn (respectivement qn) régissant le nombre n de pannes par
jour pour le système 1 (resp. 2) sont données dans les tableaux suivants :
Système 1 Système 2
n pn
0 0.07
1 0.35
2 0.34
3 0.18
4 0.06
n qn
0 0.10
1 0.20
2 0.50
3 0.17
4 0.03
1. (a) La probabilité P que le système 2 ait au moins 2 pannes dans la journée s’écrit :
P = q2 +q3 +q4 = 0.50+0.17+0.03 = 0.70
(b) Puisque les deux systèmes sont indépendants, la probabilité P ′ qu’il se produise une
seule panne dans la journée est :
P ′ = p0q1 +p1q0 = 0.049
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2