Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2 Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
202 Annexe A. Annexes VI. Ascenseur pour l’échafaud Un ascenseur dessert les 10 étages d’un immeuble, 12 personnes le prennent au rez-de-chaussée et chacune choisit un des 10 étages au hasard. 1. X1 est nulle si aucune des 12 personnes ne choisit l’étage 1, ce qui arrive avec probabilité : È(X1 = 0) = 12 9 10 12 12 9 9 ⇒È(X1 = 1) = 1− ⇒ E[X1] = 1− . 10 10 2. Soit N le nombre (aléatoire) d’étages auxquels l’ascenseur s’arrête. Par définition, N = X1+···+X10. Les Xi ont toutes la même loi, donc le nombre moyen d’étages desservis est : 12 9 E[N] = E[X1 +···+X10] = 10 E[X1] = 10 1− . 10 Remarque : Les variables Xi sont de même loi mais pas indépendantes puisqu’il est par exemple clair qu’elles ne peuvent pas être toutes nulles simultanément : È(X1 = 0,...,X10 = 0) = 0 = 120 9 =È(X1 = 0)...È(X10 = 0). 10 En particulier le calcul de la variance de N n’est pas aussi simple que celui de l’espérance. 3. La généralisation du raisonnement précédent pour t étages et n personnes est immédiate : n t−1 E[N] = t 1− . t (a) Lorsque t tend vers l’infini avec n fixé, on a n t−1 = 1− t 1 n ∼ 1− t n t donc t−1 n E[N] = t 1− ∼ t 1− 1− t n = n, t autrement dit limt→∞E[N] = n. Ceci est logique : lorsqu’il y a un très grand nombre d’étages, il y a très peu de chances que plusieurs personnes choisissent le même, donc le nombre d’étages desservis correspond approximativement au nombre de personnes. (b) A contrario, lorsque n tend vers l’infini avec t fixé, on a t−1 n t−1 t < 1 ⇒ −−−→ t n→∞ 0 donc E[N] = t 1− n t−1 t −−−→ n→∞ t. Ceci est logique aussi : lorsque le nombre de personnes est beaucoup plus grand que le nombre d’étages, l’ascenseur s’arrête en général à tous les étages. Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
A.1. Annales 203 Université Rennes 2 Licence MASS 2 Contrôle de Probabilités Lundi 7 Novembre 2011 Durée : 1h30 Calculatrice autorisée Aucun document I. Circuits intégrés Un atelier reçoit 5000 circuits intégrés : 1000 en provenance de l’usine A et 4000 en provenance de l’usine B. 10% des circuits fabriqués par l’usine A et 5% de ceux fabriqués par l’usine B sont défectueux. 1. On choisit au hasard un circuit intégré à l’atelier. Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ? 2. Sachant qu’un circuit choisi est défectueux, quelle est la probabilité qu’il vienne de l’usine A? II. Systèmes de contrôle Deux systèmes de contrôle électrique opèrent indépendamment et sont sujets à un certain nombre de pannes par jour. Les probabilités pn (respectivement qn) régissant le nombre n de pannes par jour pour le système 1 (resp. 2) sont données dans les tableaux suivants : Système 1 Système 2 n pn 0 0.07 1 0.35 2 0.34 3 0.18 4 0.06 n qn 0 0.10 1 0.20 2 0.50 3 0.17 4 0.03 1. Calculer les probabilités des événements suivants : (a) Le système 2 a au moins 2 pannes dans la journée. (b) Il se produit une seule panne dans la journée. (c) Le système 1 a le même nombre de pannes que le système 2. 2. Quel est le nombre moyen de pannes du système 1 par jour? Comparer à celui du système 2. 3. Supposons que l’équipe de mécaniciens ne puisse réparer qu’un maximum de 6 pannes par jour. Dans quelle proportion du temps ne pourra-t-elle pas suffire à la tâche? III. Utilité d’un testeur Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de processeurs contenant 2% d’éléments défectueux. En début de chaîne, chaque processeur est vérifié par un testeur dont la fiabilité n’est pas parfaite, de telle sorte que la probabilité que le testeur déclare le processeur bon (resp. mauvais) sachant que le processeur est réellement bon (resp. mauvais) vaut 0.95 (resp. 0.94). Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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A.1. Annales 203<br />
<strong>Université</strong> <strong>Rennes</strong> 2<br />
Licence MASS 2<br />
Contrôle de <strong>Probabilités</strong><br />
Lundi 7 Novembre 2011<br />
Durée : 1h30<br />
Calculatrice autorisée<br />
Aucun document<br />
I. Circuits intégrés<br />
Un atelier reçoit 5000 circuits intégrés : 1000 en provenance de l’usine A et 4000 en provenance<br />
de l’usine B. 10% des circuits fabriqués par l’usine A et 5% de ceux fabriqués par l’usine B sont<br />
défectueux.<br />
1. On choisit au hasard un circuit intégré à l’atelier. Quelle est la probabilité qu’il soit défectueux<br />
?<br />
2. Sachant qu’un circuit choisi est défectueux, quelle est la probabilité qu’il vienne de l’usine A?<br />
II. Systèmes de contrôle<br />
Deux systèmes de contrôle électrique opèrent indépendamment et sont sujets à un certain nombre<br />
de pannes par jour. Les probabilités pn (respectivement qn) régissant le nombre n de pannes par<br />
jour pour le système 1 (resp. 2) sont données dans les table<strong>aux</strong> suivants :<br />
Système 1 Système 2<br />
n pn<br />
0 0.07<br />
1 0.35<br />
2 0.34<br />
3 0.18<br />
4 0.06<br />
n qn<br />
0 0.10<br />
1 0.20<br />
2 0.50<br />
3 0.17<br />
4 0.03<br />
1. Calculer les probabilités des événements suivants :<br />
(a) Le système 2 a au moins 2 pannes dans la journée.<br />
(b) Il se produit une seule panne dans la journée.<br />
(c) Le système 1 a le même nombre de pannes que le système 2.<br />
2. Quel est le nombre moyen de pannes du système 1 par jour? Comparer à celui du système<br />
2.<br />
3. Supposons que l’équipe de mécaniciens ne puisse réparer qu’un maximum de 6 pannes par<br />
jour. Dans quelle proportion du temps ne pourra-t-elle pas suffire à la tâche?<br />
III. Utilité d’un testeur<br />
Une chaîne de montage d’ordinateurs utilise un lot de processeurs contenant 2% d’éléments défectueux.<br />
En début de chaîne, chaque processeur est vérifié par un testeur dont la fiabilité n’est pas<br />
parfaite, de telle sorte que la probabilité que le testeur déclare le processeur bon (resp. mauvais)<br />
sachant que le processeur est réellement bon (resp. mauvais) vaut 0.95 (resp. 0.94).<br />
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