Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

202 Annexe A. Annexes
VI. Ascenseur pour l’échafaud
Un ascenseur dessert les 10 étages d’un immeuble, 12 personnes le prennent au rez-de-chaussée et
chacune choisit un des 10 étages au hasard.
1. X1 est nulle si aucune des 12 personnes ne choisit l’étage 1, ce qui arrive avec probabilité :
È(X1 = 0) =
12 9
10
12 12 9
9
⇒È(X1 = 1) = 1− ⇒ E[X1] = 1− .
10 10
2. Soit N le nombre (aléatoire) d’étages auxquels l’ascenseur s’arrête. Par définition, N =
X1+···+X10. Les Xi ont toutes la même loi, donc le nombre moyen d’étages desservis est :
12
9
E[N] = E[X1 +···+X10] = 10 E[X1] = 10 1− .
10
Remarque : Les variables Xi sont de même loi mais pas indépendantes puisqu’il est par
exemple clair qu’elles ne peuvent pas être toutes nulles simultanément :
È(X1 = 0,...,X10 = 0) = 0 =
120 9
=È(X1 = 0)...È(X10 = 0).
10
En particulier le calcul de la variance de N n’est pas aussi simple que celui de l’espérance.
3. La généralisation du raisonnement précédent pour t étages et n personnes est immédiate :
n t−1
E[N] = t 1− .
t
(a) Lorsque t tend vers l’infini avec n fixé, on a
n
t−1
= 1−
t
1
n ∼ 1−
t
n
t
donc
t−1
n
E[N] = t 1− ∼ t 1− 1−
t
n
= n,
t
autrement dit limt→∞E[N] = n. Ceci est logique : lorsqu’il y a un très grand nombre
d’étages, il y a très peu de chances que plusieurs personnes choisissent le même, donc
le nombre d’étages desservis correspond approximativement au nombre de personnes.
(b) A contrario, lorsque n tend vers l’infini avec t fixé, on a
t−1
n
t−1
t < 1 ⇒ −−−→
t n→∞ 0
donc
E[N] = t 1−
n t−1
t
−−−→
n→∞ t.
Ceci est logique aussi : lorsque le nombre de personnes est beaucoup plus grand que le
nombre d’étages, l’ascenseur s’arrête en général à tous les étages.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités