Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

A.1. Annales 201
1. Dire que T est une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p signifie que
T est à valeurs dansÆ∗ , avec
∀n ∈Æ∗ È(T = n) = p(1−p) n−1
Son espérance vaut E[T] = 1/p et sa variance Var(T) = q/p 2 .
2. Si on suppose que le nombre de naissance est équiréparti sur les 12 mois de l’année (ceci
signifie en particulier qu’on ne tient pas compte du fait que certains mois ont plus de jours
que d’autres et que les naissances ne sont en fait pas équiréparties sur l’année) et que les
individus interrogés sont indépendants du point de vue du mois de naissance, alors le nombre
de personnes que l’on doit interroger suit une loi géométrique de paramètre 1/12. Ainsi le
nombre moyen de personnes à interroger est E[T] = 12.
3. La loi de X est gémétrique de paramètre 1/2.
4. On reconnaît dans la série concernée le moment d’ordre 2 d’une variable X distribuée suivant
une loi géométrique de paramètre 1/2 :
X ∼ G(1/2) ⇒ E[X 2 ] =
Or E[X 2 ] = Var(X)+(E[X]) 2 = 2+4 = 6.
5. (a) Pour calculer la probabilité p qu’Alice perde de l’argent lors d’une partie, on passe par
l’événement complémentaire, à savoir le fait qu’Alice gagne de l’argent, ce qui arrive si
et seulement si Pile apparaît au premier ou au deuxième lancer. En notant toujours X
+∞
n=1
n 2
2 n.
la variable géométrique introduite précédemment, on a donc :
p = 1−(È(G = 4)+È(G = 1)) = 1−(È(X = 1)+È(X = 2)) = 1−
1 1
+ =
2 4
1
4 .
(b) La variable G prend les valeurs 5 − n 2 avec les probabilités 1/2 n pour tout n ∈Æ∗ ,
donc son espérance vaut :
E[G] =
+∞
n=1
5−n 2
= 5
2n +∞
n=1
1
−
2n +∞
n=1
n2 = 5−6 = −1.
2n On pouvait aussi trouver ce résultat en appliquant le théorème de transfert puisque la
variable G est tout simplement égale à 5−X 2 , d’où :
E[G] = E[5−X 2 ] = 5−E[X 2 ] = 5−6 = −1.
(c) Sur une partie, Alice a 3 chances sur 4 de gagner de l’argent, donc sur ce principe on
pourrait préférer être du côté d’Alice. Néanmoins, on a vu aussi qu’en moyenne, par
partie, elle perd 1e. Ceci signifie en gros que lorsqu’elle gagne (ce qui arrive 3 fois sur
4) elle gagne peu, tandis que lorsqu’elle perd (ce qui arrive 1 fois sur 4), elle peut perdre
beaucoup. Si on se met à la place de Bob, tout se passe un peu comme s’il achetait un
ticket de Loto à prix variable (1 ou 4e) : il ne va probablement rien récupérer, mais
s’il gagne il peut éventuellement gagner beaucoup. Tout dépend donc si on est joueur
ou non...
Il n’y a par contre plus aucune ambiguïté lorsqu’Alice et Bob jouent un grand nombre
de parties. Notons σ l’écart-type de G et S = G1 +··· +G100 le gain d’Alice sur 100
parties, alors le théorème central limite dit que S est approximativement distribuée
selon une loi normale de moyenne 100×E[G] = −100 et d’écart-type 10σ. Puisque la
moyenne de cette loi normale est négative, S a plus de chances d’être négatif que positif,
donc on préférera être à la place de Bob.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2