Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

200 Annexe A. Annexes
1. Si on note f la densité, F la fonction de répartition, alors
On montre que E[T] = 1
λ
f(t) = λe −λt {t≥0} et F(t) = (1−e −λt ) {t≥0}.
et Var(T) = 1
λ 2.
2. Pour tout t > 0, on a doncÈ(T > t) = 1−F(t) = e −λt .
3. La demi-vie vérifie donc :
e −λh = 1
2
⇔ −λh = ln(1/2) ⇔ h = ln2
λ .
4. Le strontium 90 est un composé radioactif très dangereux que l’on retrouve après une explosion
nucléaire. Un atome de strontium 90 reste radioactif pendant une durée aléatoire T qui
suit une loi exponentielle, durée au bout de laquelle il se désintègre. Sa demi-vie est d’environ
28 ans.
(a) D’après la question précédente, le taux de désintégration vaut donc λ = ln2/h ≈ 0.0248.
(b) La probabilité qu’un atome reste radioactif durant au moins 50 ans est :
È(T > 50) = e −50λ ≈ e −50×0.0248 ≈ 0.29
(c) Calculer le nombre d’années nécessaires pour que 99% du strontium 90 produit par une
réaction nucléaire se soit désintégré revient à trouver la durée t telle queÈ(T > t) =
0.01, c’est-à-dire :
e −0.0248t = 0.01 ⇔ −0.0248t = ln(0.01) ⇔ t = ln(0.01)
−0.0248
≈ 185.7
Il faut donc près de 186 ans pour qu’il ne reste plus que 1% de strontium 90.
IV. Jeu d’argent
Un jeu consiste à tirer, indépendamment et avec remise, des tickets d’une boîte. Il y a en tout
4 tickets, numérotés respectivement -2, -1, 0, 3. Votre “gain” X lors d’une partie correspond à la
somme indiquée sur le ticket. Par exemple, si vous tirez le ticket numéroté -2, alors X = −2 et
vous devez donner 2e, tandis que si vous tirez le ticket 3, alors X = 3 et vous gagnez 3e.
1. X prend les quatres valeurs -2, -1, 0, 3 avec la même probabilité, c’est-à-dire 1/4. On vérifie
sans difficultés que sa moyenne est nulle (c’est donc un jeu équitable) et que sa variance vaut
7/2.
2. On a clairement S = X1 +···+X100.
3. Par linéarité de l’espérance et du fait que lesXi ont la même loi, on a doncE[S] = 100E[X1] =
0. Du fait que lesXi ont la même loi et sont indépendantes, on déduitVar(S) = 100Var(X1) =
350.
4. Puisque S est la somme d’un grand nombre de variables indépendantes et de même loi, le
théorème central limite permet d’approcher la loi de S par une loi normale centrée et de
variance 350. La probabilité que notre gain sur 100 parties dépasse 25eest donc :
S
È(S > 25) =È
√350 > 25
√ = 1−Φ(25/
350
√ 350) ≈ 0.09.
Sur 100 parties, on a donc environ 9% de chances de gagner plus de 25e.
V. Rubrique à brac
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités