Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

198 Annexe A. Annexes
Université de Rennes 2
Licence MASS 2
Durée : 2 heures
Corrigé du Contrôle
Mercredi 15 Décembre 2010
Calculatrice autorisée
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I. Variable à densité
Soit X une variable aléatoire de densité f(x) = c
x4 {x≥1}.
1. Pour que f soit bien une densité, il faut que la constante c soit positive et telle que l’intégrale
de f soit égale à 1, c’est-à-dire :
1 =
+∞
1
c −1
x4dx = c
3x3 +∞
=
1
c
3 ,
donc c = 3 et f(x) = 3
x 4 {x≥1}. Cette densité est représentée figure A.3 à gauche.
2. La fonction de répartition F est nulle à gauche de 1, et pour x ≥ 1 on a :
F(x) =
x
1
3 1
t4dt = 1−
x3. Cette fonction de répartition est représentée figure A.3 à droite.
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1 2 3 4 5 6
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1 2 3 4 5 6
Figure A.3 – Densité f et fonction de répartition F.
3. PuisqueÈ(X > m) = 1−È(X ≤ m) = 1−F(m), il nous suffit de résoudre :
1−F(m) = 1
2
1 1
⇔ =
m3 2 ⇔ m = 21/3 ≈ 1.26.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités