Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

A.1. Annales 197
IV. Jeu d’argent
Un jeu consiste à tirer, indépendamment et avec remise, des tickets d’une boîte. Il y a en tout
4 tickets, numérotés respectivement -2, -1, 0, 3. Votre “gain” X lors d’une partie correspond à la
somme indiquée sur le ticket. Par exemple, si vous tirez le ticket numéroté -2, alors X = −2 et
vous devez donner 2e, tandis que si vous tirez le ticket 3, alors X = 3 et vous gagnez 3e.
1. Donner la loi de X. Calculer son espérance et sa variance.
2. Vous jouez 100 fois de suite à ce jeu et on note S votre gain après 100 parties. En notant X1
le gain à la première partie, X2 le gain à la deuxième partie, ..., X100 le gain à la centième
partie, exprimer S en fonction des Xi.
3. En déduire l’espérance de S et sa variance.
4. Par quelle loi normale peut-on approcher S ? En déduire la probabilité que votre gain sur
100 parties dépasse 25e.
V. Rubrique à brac
1. Soit T une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p,0 < p < 1. Rappeler
la loi de T, son espérance et sa variance.
2. Vous demandez à des personnes choisies au hasard dans la rue leur mois de naissance jusqu’à
en trouver une née en décembre. Quel est (approximativement) le nombre moyen de personnes
que vous allez devoir interroger?
3. On jette une pièce équilibrée et on appelle X le nombre de lancers nécessaires pour que Pile
apparaisse. Quelle est la loi de X ?
4. Grâce aux moments de X, montrer que +∞
n=1 n2
2n = 6.
5. Alice et Bob jouent au jeu suivant : Alice lance une pièce équilibrée jusqu’à ce que Pile
apparaisse. Si Pile apparaît dès le premier lancer, Bob lui donne 4e ; si Pile n’apparaît
qu’au deuxième lancer, Bob lui donne 1e ; si Pile n’apparaît qu’au troisième lancer, elle
donne 4eàBob; si Pile n’apparaît qu’au quatrième lancer, elle donne 11eàBob, etc. De
façon générale, le “gain” d’Alice si Pile n’apparaît qu’au n-ème lancer est 5−n 2 . Notons G
la variable aléatoire correspondant à ce gain.
(a) Calculer la probabilité qu’Alice perde de l’argent lors d’une partie.
(b) Calculer l’espérance de G.
(c) Si vous deviez jouer une seule partie, préféreriez-vous être à la place d’Alice ou à la
place de Bob? Et si vous deviez en jouer 100?
VI. Ascenseur pour l’échafaud
Un ascenseur dessert les 10 étages d’un immeuble, 12 personnes le prennent au rez-de-chaussée et
chacune choisit un des 10 étages au hasard.
1. Soit X1 la variable aléatoire valant 1 si au moins une personne choisit le 1er étage, 0 sinon.
CalculerÈ(X1 = 1) et en déduire la moyenne de X1.
2. De façon générale, soit Xi la variable aléatoire valant 1 si au moins une personne choisit
l’étage i, 0 sinon. Exprimer le nombre d’étages auxquels l’ascenseur s’arrête en fonction des
Xi. En déduire le nombre moyen d’étages auxquels l’ascenseur s’arrête.
3. (Bonus) Généralisation : montrer que pour t étages et n personnes, le nombre moyen d’étages
desservis est t(1−(1− 1
t )n ). Que devient cette quantité :
(a) lorsque t tend vers l’infini avec n fixé? Interpréter.
(b) lorsque n tend vers l’infini avec t fixé? Interpréter.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2