Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

196 Annexe A. Annexes
Université de Rennes 2
Licence MASS 2
Durée : 1 heure 45
Contrôle de Probabilités
I. Variable à densité
Soit X une variable aléatoire de densité f(x) = c
x4 {x≥1}.
1. Déterminer c pour que f soit bien une densité. Représenter f.
2. Calculer la fonction de répartition F et la représenter.
Mercredi 15 Décembre 2010
Calculatrice autorisée
Aucun document
3. Déterminer la médiane de X, c’est-à-dire la valeur m telle queÈ(X > m) = 1/2.
4. Calculer l’espérance de X et sa variance.
5. Déterminer le moment d’ordre 3 de X.
II. Diamètre d’une bille
Le diamètre d’une bille est distribué suivant une loi normale de moyenne 1 cm. On sait de plus
qu’une bille a une chance sur trois d’avoir un diamètre supérieur à 1.1 cm.
1. Déterminer l’écart-type de cette distribution.
2. Quelle est la probabilité qu’une bille ait un diamètre compris entre 0.2 et 1 cm?
3. Quelle est la valeur telle que 3/4 des billes aient un diamètre supérieur à cette valeur?
III. Tchernobyl for ever
Soit T une variable aléatoire distribuée suivant une loi exponentielle de paramètre λ > 0.
1. Rappeler ce que valent densité, fonction de répartition, espérance et variance de T (on ne
demande pas les calculs).
2. Pour tout t > 0, que vautÈ(T > t)?
3. On appelle demi-vie la durée h telle queÈ(T > h) = 1/2. Déterminer h en fonction de λ.
4. Le strontium 90 est un composé radioactif très dangereux que l’on retrouve après une explosion
nucléaire. Un atome de strontium 90 reste radioactif pendant une durée aléatoire T qui
suit une loi exponentielle, durée au bout de laquelle il se désintègre. Sa demi-vie est d’environ
28 ans.
(a) Déterminer le paramètre λ de la loi de T.
(b) Calculer la probabilité qu’un atome reste radioactif durant au moins 50 ans.
(c) Calculer le nombre d’années nécessaires pour que 99% du strontium 90 produit par une
réaction nucléaire se soit désintégré.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités