Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

16 Chapitre 1. Espaces probabilisés
1. Soit A et B deux événements. Montrer que la probabilité qu’un seul des deux événements se
réalise estÈ(A)+È(B)−2È(A∩B).
2. Soit A et B deux événements tels queÈ(A) = 0,9 etÈ(B) = 0,8.
(a) Grâce (par exemple) à l’additivité forte, montrer queÈ(A∩B) ≥ 0,7.
(b) Supposons qu’on tire un nombre entier au hasard dans l’ensemble Ω = {1,...,10}.
Donner un exemple d’événements A et B tels queÈ(A) = 0,9,È(B) = 0,8 etÈ(A ∩
B) = 0,7.
(c) Que vaut au maximumÈ(A∩B)? De façon générale, quand a-t-on égalité? En reprenant
l’exemple de tirage équiprobable entre 1 et 10, donner un exemple où il y a égalité.
3. Généralisation : soit A1,...,An des événements, utiliser la sous-σ-additivité et le passage au
complémentaire pour prouver l’inégalité suivante :
n
È(A1 ∩···∩An) ≥
i=1È(Ai)−(n−1).
Que vaut au maximumÈ(A1 ∩···∩An)? Dans quel(s) cas ce maximum est-il atteint?
Exercice 1.13 (Alea jacta est)
1. On jette 2 dés équilibrés simultanément. Donner, pour tout i ∈ {2,...,12}, la probabilité
que la somme des résultats fasse i.
2. On répète maintenant l’expérience précédente jusqu’à ce qu’une somme de 5 ou 7 apparaisse.
On désigne par En l’événement : “Une somme de 5 apparaît au n-ème double jet et sur les
(n−1) premiers coups ni la somme de 5 ni celle de 7 n’est apparue.”
(a) CalculerÈ(En).
(b) Soit E : “Une somme de 5 apparaît au bout d’un certain nombre de lancers et sur les
lancers précédents ni la somme de 5 ni celle de 7 n’est apparue.” Décrire E en fonction
des En et en déduireÈ(E).
Exercice 1.14 (Application de la sous-σ-additivité)
Soit (Ω,F,È) un espace probabilisé. Soit A1,...,An des événements de F tels que :
n
Ai = Ω.
i=1
Grâce à la sous-σ-additivité, montrer que l’un au moins des événements Ai est de probabilité
supérieure ou égale à 1
n .
Exercice 1.15 (Limites supérieures et inférieures d’ensembles)
Soit (An)n≥0 une suite de parties d’un ensemble Ω. On appelle limite supérieure des An et on note
limAn, ou limsup nAn, l’ensemble des éléments de Ω qui appartiennent à une infinité de An. On
appelle limite inférieure des An et on note limAn, ou liminfnAn l’ensemble des éléments de Ω qui
appartiennent à tous les An sauf à un nombre fini d’entre eux.
1. Soit A et B deux parties de Ω et la suite (An) définie par A0 = A2 = ··· = A et A1 = A3 =
··· = B. Déterminer les limites sup et inf des An.
2. Ecrire les définitions de limAn et limAn à l’aide des quantificateurs logiques ∃ et ∀. Les
traduire en termes ensemblistes à l’aide des symboles ∪ et ∩.
3. Déterminer limAn et limAn dans les situations suivantes :
(a) An =]−∞,n] avec n ≥ 0;
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités